Задача 66350 Найти решение задачи Коши xy'+2sqrt(xy)...

6343463188987f66e846999f

20.10.2022 15:42:37

Найти решение задачи Коши xy'+2sqrt(xy) = y, y(1)=1

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.10.2022 21:52:34

★

y`+2sqrt(y/x)=(y/x)

Это однородное уравнение.

y/x=u

y=u*x

y`=u`*x+u*x`

x`=1

y`=u`*x+u


u`*x+[b]u[/b]+2sqrt(u)=[b]u[/b]

u`*x+2sqrt(u)=0 - уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

xdu=-2sqrt(u)dx

Разделяем переменные ( делим обе части уравнения на x*sqrt(u))

du/sqrt(u)=-2dx/x

интегрируем

∫ du/sqrt(u)=-2 ∫ dx/x

[b]2sqrt(u)=-2lnx+c[/b]- общее решение.

Можно на 2 разделить

[b]sqrt(u)=-lnx+(c/2)[/b]- общее решение.

c/2 заменим на C

[b]sqrt(y/x)=-lnx+C[/b]- общее решение.

[b]sqrt(y/x)+lnx=C[/b]- общее решение.

Задача Коши

y(1)=1

подставляем х=1; y=1 в общее решение.

[b]sqrt(y/x)+lnx=C[/b]

получаем

[b]sqrt(1/1)+ln1=C[/b]

С=1

[b]sqrt(y/x)+lnx=1[/b]- решение задачи Коши, т.е решение, удовлетворяющее начальному условию