Задача 66347 13. Составить уравнения сторон...
Условие
14 Из точки. Р(2; - 1;3) опущен на плоскость перпендикуляр, его основание М(1;2;4). Найти уравнение плоскости. 
Решение
vector{PM} - перпендикулярен плоскости.
Значит это нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости с заданным нормальным вектором vector{n}=(A;B;C) и проходящей через точку М_(о) (x_(o);y_(o); z_(o))
имеет вид:
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0
vector{PM}=(x_(M)-x_(P); y_(M)-y_(P); z_(M)-z_(P))=(1-2;2-(-1);4-3)=(-1;3;1)
-1*(x-1)+3*(y-2)+1*(z-4)=0
-x+3y+z-9=0
x-3y-z+9=0
13.
Высота и медианы выходят из одной точки, значит [i]пересекаются[/i] в этой точке
Найдем координаты этой точки:
{x-2y+1=0
{4x+y+2=0 умножаем на 2
{x-2y+1=0
{8x+2y+4=0
складываем
9x+5=0
x=-5/9
y=-4x-2=-4*(-5/9)-2=(20/9)-(18/9)=2/9
Пусть это точка B ( -5/9; 2/9)
Высота BD ⊥ AC
Прямая AC [i]перпендикулярна[/i] прямой BD
Запишем уравнение прямой BD в виде уравнения с угловым коэффициентом
x-2y+1=0
2y=x+1
y=(1/2)x+(1/2)
[b]k=1/2[/b]
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
Угловой коэффициент любой такой перпендикулярной прямой равен (-2)
y=-2x+b - общий вид прямых перпендикулярных прямой BD
Чтобы найти уравнение прямой АС подставим координаты точки С
C(1;2)
2=-2*1+b
[b]b=4[/b]
y=-2x+4 - уравнение стороны АС
Найдем координаты точки К - точки пересечения прямой АС и медианы ВК
{y=-2x+4
{4x+y+2=0
4x+(-2x+4)+2=0
4x-2x+6=0
x=3
y=-2
K- cередина АС
x_(K)=(1/2)(x_(A)+x_(C)) ⇒ x_(A)=2x_(K)-x_(C)=2*3-1=5
y_(K)=(1/2)(y_(A)+y_(C))⇒ y_(A)=2y_(K)-y_(C)=2*(-2)-2=-6
Cоставить уравнение сторон АВ и ВС не составит труда.
Можно воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки
