Задача 66343 1. Решите уравнение: cosx+sinx=1. 2. В...

61b01d9d56558d3314693833

20.10.2022 11:08:09

1. Решите уравнение: cosx+sinx=1. 2. В 10%-ный солевой раствор добавили 50%-ный солевой раствор и получили раствор 40%-ной концентрации. Найдите отношение масс первоначальных растворов.

626fab9a354ab65fb2f43abb

20.10.2022 12:58:13

★

1) sin x + cos x = 1
Здесь поможет один нестандартный прием.
Слева вынесем за скобки sqrt(2)
sqrt(2)*(sin x*1/sqrt(2) + cos x*1/sqrt(2)) = 1
Теперь вспомним, что sin(π/4) = cos(π/4) = 1/sqrt(2)
sqrt(2)*(sin x*cos(π/4) + cos x*sin(π/4)) = 1
Дальше, есть формула синуса суммы:
sin(a + b) = sin a*cos b + cos a*sin b
Подставляем:
sqrt(2)*sin(x + π/4) = 1
sin(x + π/4) = 1/sqrt(2)
Это уравнение имеет 2 решения:
1) x1 + π/4 = π/4 + 2π*k, k ∈ Z
[b]x1 = 2π*k, k ∈ Z[/b]
2) x2 + π/4 = 3π/4 + 2π*k, k ∈ Z
[b]x2 = π/2 + 2π*k, k ∈ Z[/b]

2) Было x г 10% раствора, в котором 0,1x г соли.
Добавили y г 50% раствора, в котором 0,5y г соли.
Получили раствор, в котором (0,1x + 0,5y) г соли на
(x + y) г раствора. И это получился 40% раствор.
0,4(x + y) = 0,1x + 0,5y
0,4x + 0,4y = 0,1x + 0,5y
0,4x - 0,1x = 0,5y - 0,4y
0,3x = 0,1y
3x = y
Значит, 10% раствора было в 3 раза меньше, чем 50%.
Ответ: Отношение масс 10% : 50% = 1 : 3