Задача 66322 ...
Условие
u = (y³)/3 + 8xy - 9y - 4x² - 10 Справка
Решение
Ищем экстремумы функции двух переменных.
1) Необходимое условие экстремума.
Все частные производные 1 порядка должны быть = 0.
{ du/dx = 8y - 8x = 0
{ du/dy = y^2 + 8x - 9 = 0
Из 1 уравнения: x = y, подставляем во 2 уравнение:
y^2 + 8y - 9 = 0
(y - 1)(y + 9) = 0
y1 = x1 = -9;
u(-9; -9) = -729/3 + 8*81 - 9(-9) - 4*81 - 10 =
= -243 + 648 + 81 - 324 - 10 = 152
y2 = x2 = 1
u(1; 1) = 1/3 + 8 - 9 - 4 - 10 = -14 2/3
Критические точки: (-9; -9; 152); (1; 1; -14 2/3)
2) Достаточное условие экстремума.
Находим производные 2 порядка:
A = d^2u/dx^2 = -8 < 0
B = d^2u/(dxdy) = 8
C = d^2u/dy^2 = 2y
Находим значение D = AC - B^2 в критических точках.
D(-9; -9) = -8*2y - 8^2 = -16(-9) - 64 = 144 - 64 = 80 > 0
Если D > 0 и A < 0 - это максимум.
(-9; -9; 152) - точка максимума.
D(1; 1) = -8*2*1 - 8^2 = -16 - 64 = -80 < 0
Если D < 0 - это не экстремум, а седловая точка.
Ответ: Максимальное значение функции: 152.
Минимальное значение функции - неизвестно, нужно задать область и искать значения на краях.