Задача 66321 Дано скалярное поле u=u(х;...
Условие
Требуется:
а) составить уравнение линии уровня u=С и построить её график;
б) вычислить с помощью градиента производную скалярного поля u=u(х; у) в точке А по направлению вектора АB;
в) Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке А.
Исходные данные и задание на скриншотах.
Решение
A(0,5;1– (sqrt(3)/2)) B(0;1–(sqrt(3)/2))
C=7
1)Составить уравнение линии уровня u=C и построить график.
x^2+y^2–2x-2y=7
Выделяем полные квадраты
(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)-2=7
(x-1)^2+(y-1)^2=9
это уравнение окружности с центром (1; 1) радиусом R=3
линия уровня -окружность (x-1)^2+(y-1)^2=9
2)
Производная по направлению:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }=\frac{ ∂u }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }cos β [/m]
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }|_{A}=\frac{ ∂u }{ ∂x }|_{A}cos α +\frac{ ∂u }{ ∂y }|_{A}cos β [/m]
Находим координаты направляющего вектора: [m]\vec{AB}=(x_{B}-x_{A}; y_{B}-y_{A})=(0-\frac{1}{2}; 1-\frac{\sqrt{3}}{2}-(1-\frac{\sqrt{3}}{2})=(-0,5;0)[/m]
[m]|\vec{AB}|=0,5[/m]
Направляющие косинусы:
[m]cos α =-1[/m]; [m]cos β =0[/m];
Находим частные производные
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }=(x^2+y^2–2x-2y)`_{x}=2x-2[/m]
[m]\frac{ ∂u}{ ∂y }=(x^2+y^2–2x-2y)`_{y}=2y-2[/m]
Находим частные производные в точке:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }_{A}=2\cdot \frac{1}{2}-2=1-2=-1[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂y }_{A}=2\cdot (1-\frac{\sqrt{3}}{2})-2=2-\sqrt{3}-{2}=-\sqrt{3}[/m]
Производная по направлению vector {AB} в точке A:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{A}=-1\cdot (-1)-\sqrt{3}\cdot 0=1[/m]
3)
Наибольшая скорость изменения скалярного поля в направлении градиента
grad u=(∂u/∂x)*vector{i}+(∂u/∂y)*vector{j}
grad u=(2x-2)*vector{i}+(2y-2)*vector{j}
grad u__(A)=-vector{i}-\sqrt{3}vector{j}
|grad u__(A)|=sqrt((-1)^2+(-sqrt(3))^2)=2
Направляющие косинусы
[m]cos α =-\frac{1}{2}[/m]; [m]cos β =-\frac{\sqrt{3}}{2}[/m];
Производная по направлению grad u в точке A:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{A}=-1\cdot (-\frac{1}{2})-\sqrt{3}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2[/m]
и
|grad u__(A)|=sqrt((-1)^2+(-sqrt(3))^2)=2
( см. приложение 2, свойство 3)
