Задача 66294 Какой наибольший корень может иметь...

634e970b6d9d43501d8469ef

18.10.2022 15:12:21

Какой наибольший корень может иметь уравнение:
(x−a)(x−b) = (x−c)(x−d)
если известно, что a+d = b+c = 1234, а числа a и c различны?

626fab9a354ab65fb2f43abb

18.10.2022 16:06:10

★

(x - a)(x - b) = (x - c)(x - d)
a + d = b + c = 1234
a ≠ c
Раскрываем скобки:
x^2 - ax - bx + ab = x^2 - cx - dx + cd
-ax - bx + cx + dx = cd - ab
x(c + d - a - b) = cd - ab
[m]x = \frac{cd - ab}{c + d - a - b}[/m]
Известно, что:
{ c = 1234 - b
{ d = 1234 - a
{ a ≠ c
Подставляем:
[m]x = \frac{(1234 - b)(1234 - a) - ab}{1234 - b + 1234 - a - a - b} = \frac{1234^2 - 1234(a+b) + ab - ab}{2(1234 - a - b)} =[/m]
[m] = \frac{1234(1234 - a - b)}{2(1234 - a - b)} = \frac{1234}{2} = 617[/m]
Ответ: 617