Задача 66276 Решите уравнение пж не могу решить очень...
Условие
Решение
+ sin(3π/4 + 4x)*cos(7π/4 - 5x)
Во-первых, по формулам приведения:
sin(3π/4 + 4x) = sin(π - π/4 + 4x) = sin(π/4 - 4x)
cos(7π/4 - 5x) = cos(2π - π/4 - 5x) = cos(π/4 + 5x)
Во-вторых, есть формулы произведений:
cos a*cos b = 1/2*(cos(a - b) + cos(a + b))
sin a*sin b = 1/2*(cos(a - b) - cos(a + b))
sin a*cos b = 1/2*(sin(a - b) + sin(a + b))
Применяем эти формулы к нашему уравнению:
1) cos x*cos 2x = 1/2*(cos(2x-x) + cos(2x+x)) =
= 1/2*(cos x + cos 3x)
2) sin(π/4 + x)*sin(π/4 + 4x) =
= 1/2*(cos(π/4+4x-π/4-x) + cos(π/4+4x+π/4+x)) =
= 1/2*(cos 3x + cos(π/2+5x)) = 1/2*(cos 3x - sin 5x)
3) sin(π/4 - 4x)*cos(π/4 + 5x) =
= 1/2*(sin(π/4-4x-π/4-5x) + sin(π/4-4x+π/4+5x)) =
= 1/2*(sin(-9x) + sin(π/2+x)) = 1/2*(- sin 9x + cos x)
Подставляем:
1/2*(cos x + cos 3x) = 1/2*(cos 3x - sin 5x) +
+ 1/2*(cos x - sin 9x)
Умножаем на 2:
cos x + cos 3x = cos 3x - sin 5x + cos x - sin 9x
Приводим подобные:
0 = -sin 5x - sin 9x
sin 5x + sin 9x = 0
Есть еще формула суммы:
[m]sin a + sin b = 2sin \frac{a+b}{2} cos \frac{a-b}{2}[/m]
Подставляем:
[m]2sin \frac{5x+9x}{2} cos \frac{9x-5x}{2} = 0[/m]
2sin 7x*cos 2x = 0
Если произведение = 0, то один из множителей = 0:
sin 7x = 0
7x = π*k
x1 = π/7*k, k ∈ Z
cos 2x = 0
2x = π/2 + π*n
x2 = π/4 + π/2*n, n ∈ Z
Ответ: x1 = π/7*k, k ∈ Z; x2 = π/4 + π/2*n, n ∈ Z