Задача 66273 Решить уравнение третьего порядка...

634d8755beba61544a824b72

17.10.2022 19:55:10

Решить уравнение третьего порядка (кубическое) и изобразить его корни z_(1), z_(2), z_(3) на комплексной плоскости.
a=2, b=4, c=3, d=1 (Уравнение на скриншоте)

626fab9a354ab65fb2f43abb

17.10.2022 20:56:35

★

2z^3 + 4z^2 + 3z + 1 = 0
Напишем так:
2z^3 + 2z^2 + 2z^2 + 2z + z + 1 = 0
2z^2(z + 1) + 2z(z + 1) + (z + 1) = 0
(z + 1)(2z^2 + 2z + 1) = 0
z1 = -1 = -1 + 0i
Вторая скобка - это обычное квадратное уравнение.
2z^2 + 2z + 1 = 0
D = 2^2 - 4*2*1 = 4 - 8 = -4 = (2i)^2
z2 = (-2 - 2i)/4 = -1/2 - 1/2*i = 1/sqrt(2)*(-1/sqrt(2) - 1/sqrt(2)*i)
z3 = (-2 + 2i)/4 = -1/2 + 1/2*i = 1/sqrt(2)*(-1/sqrt(2) + 1/sqrt(2)*i)

Чтобы нарисовать корни на комплексной плоскости, представим их в тригонометрической форме:
z2 = 1/sqrt(2)*(cos(5π/4) + i*sin(5π/4))
z3 = 1/sqrt(2)*(cos(3π/4) + i*sin(3π/4))
Все три корня показаны на рисунке.

Равенства, которые надо проверить - это на самом деле теорема Виета для кубического уравнения.
1) z1 + z2 + z3 = -1 + (-1/2 - 1/2*i) + (-1/2 + 1/2*i) =
= -1 - 1/2 - 1/2 = -2
-b/a = -4/2 = -2
z1 + z2 + z3 = -b/a - проверено.
2) z1*z2 + z1*z3 + z2*z3 = c/a = 3/2
Проверять это я предоставляю вам.
3) z1*z2*z3 = (-1)(-1/2 - 1/2*i)(-1/2 + 1/2*i) =
= -(1/4 - 1/4*i^2) = -(1/4 + 1/4) = -1/2
-d/a = -1/2
z1*z2*z3 = -d/a - проверено.

Ответ: z1 = -1 + 0i; z2 = -1/2 - 1/2*i; z3 = -1/2 + 1/2*i