Задача 66265 ...

633b0d116393245c3ac411de

17.10.2022 14:18:34

2x ≥ log3 (35/2 * 6^(x-1) - 3*4^(x-1/2))

626fab9a354ab65fb2f43abb

17.10.2022 14:39:15

★

[m]2x ≥ log_3 (\frac{35}{2}*6^{x-1} - 3*4^{x - 1/2})[/m]
[m]3^{2x} ≥ \frac{35}{2}*3^{x-1}*2^{x-1} - 3*2^{2x - 1}[/m]
[m]3^{2x} - \frac{35}{2*3*2}*3^x*2^x + \frac{3}{2}*2^{2x} ≥ 0[/m]
Делим всё неравенство на [m]2^{2x}[/m]
[m](\frac{3}{2})^{2x} - \frac{35}{12}*(\frac{3}{2})^x + \frac{3}{2} ≥ 0[/m]
Замена: [m](\frac{3}{2})^x = y[/m]
y^2 - 35/12*y + 3/2 ≥ 0
Получили обычное квадратное неравенство.
Умножаем всё на 12
12y^2 - 35y + 18 ≥ 0
D = 35^2 - 4*12*18 = 1225 - 864 = 361 = 19^2
y1 = (35 - 19)/24 = 16/24 = 2/3
y2 = (35 + 19)/24 = 54/24 = 9/4
(3y - 2)(4y - 9) ≥ 0
y ∈ (-oo; 2/3] U [9/4; +oo)
Обратная замена:
y1 = (3/2)^(x1) = 2/3
x1 = -1
y2 = (3/2)^(x2) = 9/4
x2 = 2
Ответ: x ∈ (-oo; -1] U [2; +oo)