Задача 66259 вычислить пределы функций, не пользуясь...
Условие
Решение
[m]ln(2x-1)-ln(2x+2)=ln\frac{2x-1}{2x+2}=ln\frac{2x+2-2-1}{2x+2}=ln(1+\frac{(-3)}{2x+2}))[/m]
[m](2x-1)(ln(2x-1)-lnx(2x+2))=(2x-1)ln(1+\frac{(-3)}{2x+2})=ln(1+\frac{(-3)}{2x+2}))^{2x-1}=[/m]
[m]lim_(x → ∞ )(2x-1)(ln(2x-1)-lnx(2x+2))=lim_(x → ∞ )ln(1+\frac{(-3)}{2x+2}))^{2x-1}=[/m]
знак предела и знак непрерывной функции ( ln) можно менять местами:
[m]=ln lim_(x → ∞ )(1+\frac{(-3)}{2x+2}))^{2x-1}=[/m]
так как по второму замечательному пределу:
[m]=ln lim_(x → ∞ )(1+\frac{(-3)}{2x+2})^{\frac{2x+2}{(-3)}}=e[/m]
поэтому
[m]=ln lim_(x → ∞ )(1+\frac{(-3)}{2x+2}))^{\frac{2x+2}{-3}\cdot \frac{-3}{2x+2}\cdot (2x-1)}=e ^{lim_{x→ ∞}\frac{-3(2x-1)}{2x+2}}=e^{-3}[/m]
б)
Применяем формулу:
[r][m]1-cos2 α =2sin^2 α [/m][/r]
1-сos4x=2sin^22x
[m]lim_{x →0}\frac{x\cdot sin3x}{2sin^22x}=lim_{x →0}\frac{x}{sin2x}\cdot\frac{sin3x}{x}\cdot \frac{x}{sin2x} =[/m]
[m]=lim_{x →0}\frac{2x}{2\cdot sin2x}\cdot\frac{3\cdot sin3x}{3x}\cdot \frac{2x}{2\cdot sin2x} =\frac{3}{4}[/m]
так как по первому замечательному пределу
[m]lim_{x →0}\frac{sinx}{x}=1[/m]
[m]lim_{x →0}\frac{sin2x}{2x}=1[/m]
[m]lim_{x →0}\frac{sin3x}{3x}=1[/m]
в)
[m]\lim_{ \to \infty }\frac{3x-x^2+4}{5-4x+3x^2}=[/m]
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^2:
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x-x^2+4}{x^2}}{\frac{5-4x+3x^2}{x^2}}=[/m]
Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на [m]x^2[/m] и
каждое слагаемое знаменателя делим на [m]x^2[/m]:
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}+\frac{4}{x^2}}{\frac{5}{x^2}-\frac{4x}{x^2}+\frac{3x^2}{x^2}}=[/m]
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3}{x}-1+\frac{4}{x^2}}{\frac{5}{x^2}-\frac{4}{x}+3}=\frac{0-1+0}{0-0+3}=-\frac{1}{3}[/m]
г)
[m]lim_{x →2}\frac{4x^2-7x-2}{2x^2-x-6}=\frac{4\cdot 2^2-7\cdot 2-2}{2\cdot 2^2-2 -6}=\frac{16-14-2}{8-2-2}=\frac{0}{0}[/m]- неопределенность
Раскладываем на множители
( см. разложение квадратного трехчлена на множители)
[m]4x^2-7x-2=(x-2)(4x+1)[/m] так как D=(-7)^2-4*4*(-2)=49+32=81 корни: x_(1)=2; x_(2)=-1/4
[m]2x^2-x-6=(x-2)(2x+3)[/m], так как D=(-1)^2-4*2*(-6)=1+48=49, корни: x_(1)=2; x_(2)=-3/2
[m]=lim_{x → 2}\frac{(x-2)(4x+1)}{(x-2)(2x+3)}=lim_{x → 2}\frac{4x+1}{2x+3}=\frac{4\cdot 2+1}{2\cdot 2 +3}=...[/m]считайте