Задача 66258 ...

633b0d116393245c3ac411de

17.10.2022 09:46:52

0,25^((3x-2)/(x+2)) * 14^x * x^(-2) ≤ ...

626fab9a354ab65fb2f43abb

17.10.2022 11:49:50

★

[m]0,25^{-\frac{3x-2}{x+2}}*14^{x}*x^{-2} ≤ \frac{2^{-\frac{3x-2}{x+2}}*112^{x}}{4x^2}[/m]
Область определения:
x ≠ -2; x ≠ 0
Замена: [m]2^{-\frac{3x-2}{x+2}} = y[/m], тогда [m]0,25^{-\frac{3x-2}{x+2}} = (2^{-2})^{-\frac{3x-2}{x+2}} = y^{-2}[/m]
Кроме того, заметим, что:
[m]\frac{1}{x^2} = x^{-2}[/m]
[m]112^{x} = (8*14)^{x} = 8^{x}*14^{x}[/m]
Подставляем:
y^(-2)*14^(x)*x^(-2) ≤ 1/4*y*8^(x)*14^(x)*x^(-2)
Сокращаем подобные:
y^(-2) ≤ 1/4*y*8^(x)
y^(-3) ≤ 1/4*8^(x)
Обратная замена:
[m]2^{3*\frac{3x-2}{x+2}} ≤ 2^{-2}*2^{3x}[/m]
[m]2^{\frac{9x-6}{x+2}} ≤ 2^{3x-2}[/m]
Так как функция z = 2^x - возрастающая, то при переходе от степеней к показателям знак неравенства остаётся.
[m]\frac{9x-6}{x+2} ≤ 3x - 2[/m]
[m]\frac{9x-6}{x+2} - (3x - 2) ≤ 0[/m]
[m]\frac{9x-6 - (3x-2)(x+2)}{x+2} ≤ 0[/m]
[m]\frac{(3x-2)(3 - x-2)}{x+2} ≤ 0[/m]
[m]\frac{(3x-2)(1 - x)}{x+2} ≤ 0[/m]
По методу интервалов:
x ∈ (-2; 2/3] U [1; +oo)
С учётом области определения:
Ответ: x ∈ (-2; 0) U (0; 2/3] U [1; +oo)