Задача 66188 Задание на фото (4 задание) решить...
Условие
(4 задание) решить задачу коши)
Решение
Опечатка в условии.
Должно быть
y``+y`-2y=0
Линейное [b]однородное [/b]дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+k-2=0
D=1-4*(-2)=1+8=9
k_(1)=(-1-3)/2; k_(2)=(-1+3)/2- корни действительные различные
k_(1)=-2; k_(2)=1- корни действительные различные
Общее решение однородного уравнения в этом случае имеет вид:
y_(общее одн.)=С_(1)*e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)
Подставляем k_(1)=-2; k_(2)=1:
y_(общее одн.)=С_(1)*e^(-2*x)+C_(2)*e^(x)
Решение задачи Коши:
y(0)=0
y(0)=С_(1)*e^(-2*0)+C_(2)*e^(1*0) ⇒ [b]С_(1)+C_(2)=0[/b]
y`(0)=2
y`=(С_(1)*e^(-2*x)+C_(2)*e^(x))`
y`=-2C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(x)
y`(0)=-2C_(1)e^(-2*0)+C_(2)e^(0) ⇒ [b]-2С_(1)+C_(2)=2[/b]
Решаем систему
{[b]С_(1)+C_(2)=0[/b]
{ [b]-2С_(1)+C_(2)=2[/b]
⇒ C_(1)=-2/3
C_(1)=2/3
y=(2/3)*e^(-2*x)(-2/3)*e^(x)
5.
Линейное [b]неоднородное [/b]дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение неоднородного уравнения у_(общее неод)=y_(общее одн.)+y_(част неод)
Решаем однородное :
y'' +6y'+10у =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+6k+10=0
D=36-4*10=36-40=-4
k_(1)=(-6-2i)/2; k_(2)=(-6+2i)/2
k_(1)=-3-i; k_(2)=-3+i - корни комплексно- сопряженные
α=-3
β =1
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^( α x)*(С_(1)*cosβx+C_(2)*sinβx)
y_(одн.)=e^( -3 x)*(С_(1)*cosx+C_(2)*sinx)
Правая часть
f(x)=x^2
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част ) =Ax^2+Bx+C
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част)=2Ax+B
y``_(част)=2A
подставляем в данное уравнение:
2A+6*(2Ax+B)+10*(Ax^2+Bx+C)=x^2
10Ax^2+(12A+10B)*x+(2A+6B+10C)=x^2
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной:
при x^2
10A=1
при х
12A+10B=0
при х^(0)
2A+6B+10C=0
Находим
A=1/10
B=-12A/10=-12/100
C=52/1000
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част )=e^( -3 x)*(С_(1)*cosx+C_(2)*sinx)+ (1/10) x^2-(12/100)x+(52/1000) - общее решение.