Задача 66144 Вычислить интеграл...
Условие
Решение
cчитаем внутренний интеграл по переменной z, множитель sqrt(x^2+y^2) не зависит от z и потому является константой, которую можно вынести за знак интеграла:
= ∫_(0)^(2)dx ∫_(0)^)sqrt(2x-x^2)[b]sqrt(x^2+y^2)∫_(0)^(1)z dz[/b]=
= ∫_(0)^(2)dx∫_(0)^(sqrt(2x-x^2) *sqrt(x^2+y^2)([b]z^2/2[/b])|_(0)^(1)dy =
=∫_(0)^(2)dx ∫_(0)(sqrt(2x-x^2)*sqrt(x^2+y^2)*(1/2)dy=
=∫_(0)^(2) dx (1/2)[blue]∫_(0)^(sqrt(2x-x^2)sqrt(x^2+y^2)dy[/blue]=
Переходим к полярным координатам
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ
x^2+y^2= ρ ^2
[b]dxdy=ρ d ρ d θ [/b] ( cм определитель Якоби)
Область D:
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ sqrt(2x-x^2) ( уравнение y = sqrt(2x-x^2) - уравнение[b] полуокружности[/b] (х-1)^2+y^2=1)
переходит в область D_(1)U D_(2)
D_(1):
0 ≤ θ ≤ π/4
0 ≤ ρ ≤ 1/cos θ ( граница справа :x=1 ⇒ [blue] ρ cos θ =1[/blue] ⇒ ρ = 1/cos θ)
D_(2):
π/4 ≤ θ ≤ π/2
0 ≤ ρ ≤ 2 cos θ ( выход из области на полуокружности: (ρ cos θ-1)^2+ ρ ^2sin^2 θ =1 ⇒ ρ ^2(cos^2 θ +sin^2 θ )=2 ρ cos θ ⇒ ρ =2 cos θ)
= ∫ _(0)^(π/4) (∫ _(0)^(1/cos θ ) ρ * ρ d ρ) d θ +∫ _(π/4)^(π/2) (∫ _(0)^(2cos θ ) ρ * ρ d ρ) d θ=
считайте