Задача 66098 ...

6343b5d56472406910626e60

10.10.2022 09:06:21

Найти координаты вектора a⃗ , который ортогонален векторам b =(3;−1;−4) и c⃗ =(−3;8;8) и имеет длину √129. Ответ запишите в виде "(12;-34;56)". Без пробелов и через точку с запятой.

626fab9a354ab65fb2f43abb

10.10.2022 10:22:00

★

Вектора: b = (3;-1;-4); c = (-3;8;8)
Вектор a должен быть ортогонален (то есть перпендикулярен) к векторам b и c, и иметь длину |a| = sqrt(129)
Обозначим a = (x;y;z)
Так как a ⊥ b и a ⊥ c, то их скалярные произведения равны 0:
{ a*b = 0
{ a*c = 0
{ |a| = sqrt(129)
Составляем систему:
{ 3x - 1y - 4z = 0
{ -3x + 8y + 8z = 0
{ sqrt(x^2 + y^2 + z^2) = sqrt(129)
Проще всего из 1 и 2 уравнений выразить две переменных через третью, а потом подставить в 3 уравнение.
Складываем 1 и 2 уравнения:
3x - y - 4z - 3x + 8y + 8z = 0
7y + 4z = 0 _________ (1)
Умножаем 1 уравнение на 2 и складываем со 2 уравнением:
6x - 2y - 8z - 3x + 8y + 8z = 0
3x + 6y = 0
x + 2y = 0 _________ (2)
Из уравнений (1) и (2) выражаем x и z через y:
{ x = -2y
{ z = -7/4*y
3 уравнение возведём в квадрат:
x^2 + y^2 + z^2 = 129
И подставляем в него x и z:
4y^2 + y^2 + 49/16*y^2 = 129
y^2*(4*16 + 16 + 49)/16 = 129
y^2*129/16 = 129
y^2 = 16
y1 = -4; x1 = -2y = 8; z1 = -7/4*y = 7
y2 = 4; x2 = -2y = -8; z2 = -7/4*y = -7
В ответе y < 0 (пример: -34), поэтому y2 не подходит.
Ответ: a = (8;-4;7)