Задача 66043 В параллелограмме ABCD диагонали...

634037842658262d59f54b3f

07.10.2022 17:29:48

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. На стороне BC отмечена точка Е. Диагональ BD пересекает отрезок AE в точке F так, что площадь треугольника ABF равна 10.0. Диагональ AC пересекает отрезок DE в точке М так, что площадь треугольника DMC равна 15.0. Найдите площадь треугольника BEF, если площадь четырёхугольника EFOM равна 4.0. Ответ округлите до сотых.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

07.10.2022 19:14:26

★

Задача на свойства площадей

1) Диагонали разбивают параллелограмм на 4 треугольника одинаковой площади

S_( Δ ABO)=S_( Δ BOC)=S_( Δ AOD)=S_( Δ DOC)=(1/4) S_ (параллелограмма АВСD)

2)
S_( Δ AED)=(1/2) AD*H=(1/2) S_(параллелограмма АВСD)


3) Cм свойство в приложении



РЕШЕНИЕ.


S_( Δ ABF)+S_(AFO)=(1/4) S_ (параллелограмма АВСD) ⇒ S_(AFO)=[red](1/4) S_ (параллелограмма АВСD)-10[/red]

S_( Δ DMC)+S_(DOM)=(1/4) S_(параллелограмма АВСD) ⇒ S_(OMD)=[green](1/4) S_(параллелограмма АВСD)-15[/green]


S_( Δ AED)=S_(AFO)+S_(FEMO)+S_( Δ OMD)+S_( Δ AOD) ⇒

S_(AFO)+4+S_( Δ OMD)+(1/4) S_(параллелограмма АВСD)=(1/2) S_(параллелограмма АВСD)


[red](1/4) S_ (параллелограмма АВСD)-10[/red]+4+[green](1/4) S_ (параллелограмма АВСD)-15[/green]+(1/4) S_(параллелограмма АВСD)=(1/2) S_(параллелограмма АВСD)

⇒

(1/4) S_(параллелограмма АВСD)=[b]21[/b]


Тогда ( см. рис.2)

S_(Δ AFD)=11+21=32

Δ ABF и Δ AFD имеют одну и ту же высоту, проведенную из точки А, поэтому их основания относятся как площади



BF: FD=10:32

Δ BFE и Δ FED имеют одну и ту же высоту, проведенную из точки E, поэтому

из площади относятся как основания S_(Δ BFE): S_(Δ FED) =BF: FD=10:32


Но так как S_(Δ FED)=4+6=10 ⇒ S_(Δ BFE)=10*10/32=100/32=25/8=[b]3,125[/b]