Задача 66032 ...
Условие
2) [m]\left\{\begin{matrix}2^(√x+√y) = 512\\ lg√xy =1 +lg 2 \end{matrix}\right.[/m] (√x+√y) - степень
3)[m]\left\{\begin{matrix}lg(x^2+y^2)=2\\ log_(2)x – 4=log_(2)3 – log_(2)y \end{matrix}\right.[/m] 2 - нижний коэффициент
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}2^{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=512\\lg\sqrt{xy}=1+lg2\end {matrix}\right.[/m] ⇒
так как 1=lg10; lg10+lg2=lg10*2
[m]\left\{\begin {matrix}2^{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=2^{9}\\lg\sqrt{xy}=lg20\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=9\\\sqrt{xy}=20\end {matrix}\right.[/m]
так как ОДЗ первого уравнения :
x ≥ 0; y ≥ 0, тогда
[m]\sqrt{xy}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}[/m]
Решаем систему способом подстановки:
[m]\left\{\begin {matrix}\sqrt{y}=9-\sqrt{x}\\\sqrt{xy}=20\end {matrix}\right.[/m]
⇒
[m]\left\{\begin {matrix}\sqrt{y}=4\\\sqrt{x}=5\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}\sqrt{y}=5\\\sqrt{x}=4\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}y=16\\x=25\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}y=25\\x=16\end {matrix}\right.[/m]
3)
[m]\left\{\begin {matrix}lg(x^2+y^2)=2\\log_{2}x–4=log_{2}3–log_{2}y\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}x^2+y^2=10^2\\log_{2}x+log_{2}y=4+log_{2}3\end {matrix}\right.[/m] ⇒
4=log_(2)16
4+log_(2)3=log_(2)16*3=log_(2)48
log_(2)x+log_(2)y=log_(2)xy при x >0; y >0
[m]\left\{\begin {matrix}x>0\\y>0\\x^2+y^2=10^2\\(xy)=48\end {matrix}\right.[/m] ⇒
Решаем систему способом подстановки:
[m]\left\{\begin {matrix}x>0\\y>0\\x^2+(\frac{48}{x})^2=10^2\\y=\frac{48}{x}\end {matrix}\right.[/m] ⇒
Биквадратное уравнение:
[m]x^4-100x^2+48^2=0
D/4=50^2-48^2=(50-48)(50+48)=196
x^2= 36 или x^2=64
x= ± или x= ± 8
Так как x >0 ⇒
x=6 или x=8
y=8 или y=6