Задача 66025 13.4 Надо найти наименьший положительный...
Условие
13.9сравнить значения выражения
Решение
Наименьший положительный период
[m] у=tgx[/m] и [m] y=ctgx[/m]
равен π.
Период функций [m] у=tg (kx)[/m] и [m] y=ctg (kx)[/m]
равен π/k
13.9
Применяем
свойство возрастания функции [m] у=tgx[/m] на отрезках длины π: [m][- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}][/m]
и
свойство убывания функции [m] у=сtgx[/m] на отрезках длины π: [m][ 0; π][/m]
a) [m]-\frac{5π}{7}<-\frac{π}{2} [/m] так как [m]-\frac{10π}{14}<-\frac{7π}{14} [/m]
В силу периодичности функции [m] у=tg x[/m]
[m] tg( π+x)=tgx=tg(-π+x)[/m]
[m]tg(-\frac{5π}{7})=tg(-π+\frac{2π}{7})=tg\frac{2π}{7}[/m]
[m]\frac{7π}{8}>\frac{π}{2} [/m] так как [m]\frac{14π}{16}>\frac{8π}{16} [/m]
В силу периодичности функции [m] у=tg x[/m]
[m]tg(\frac{7π}{8})=tg(π-\frac{π}{8})=tg(-\frac{π}{8})[/m]
Получили [m]\frac{2π}{7}[/m] и [m]-\frac{π}{8}[/m] принадлежат одному и тому же промежутку [m][- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}][/m]
На нем функция возрастает, а это означает, что[i] большему[/i] значению аргумента соответствует [i]большее[/i] значение функции
[m]\frac{2π}{7}>-\frac{π}{8}[/m] ⇒ [m]tg\frac{2π}{7}>-tg\frac{π}{8}[/m]
а значит
[m]tg(-\frac{5π}{7}) > tg(\frac{7π}{8})[/m]