Задача 66001 Вычислить двойной интеграл по области...

61499cc87c1408291d4044fd

05.10.2022 16:17:20

Вычислить двойной интеграл по области ????, ограниченной
линиями

5f3ea7e3faf909182968ddd9

05.10.2022 17:58:35

★

Область состоит из двух одинаковых частей

Подынтегральная функция симметрична относительно осей координат.


Переход к полярным координатам

Рассматриваем одну часть области:

D_(1): 0 ≤ ρ ≤ R

π/4 ≤ φ ≤ π/3


∫ ∫ _(D)sqrt(r^2-x^2-y^2)dxdy=2∫ ∫ _(D_(1))sqrt(r^2-x^2-y^2) dxdy=2∫ _(π/4)^(π/3) (∫ _(0)^(R)sqrt(R^2- ρ ^2) ρ d ρ )d φ =

=2∫ _(π/4)^(π/3) [red]([/red][b](-1/2)[/b]∫ _(0)^(R)sqrt(R^2- ρ ^2) (-2ρ) d ρ [red])[/red]d φ =


=-∫ _(π/4)^(π/3) ((R^2- ρ ^2)^(3/2)/(3/2))|∫ _(0)^(R)=(2/3)R^3∫ _(π/4)^(π/3)d φ =(2/3)*R^3*( φ )|_(π/4)^(π/3)=

=(2/3)*R^3*((π/3)-(π/4))=(π/18)R^3