Задача 65924 В задачах NoNo 21-30 вычислить...

63384a0d0628527cdd5346bd

02.10.2022 10:48:20

В задачах NoNo 21-30 вычислить неопределенные интегралы
и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

02.10.2022 11:00:32

★

d)
Интегрирование по частям

u=x
dv=e^(4x)dx
⇒
du=dx

v= ∫ e^(4x)dx=(1/4)∫ e^(4x)d(4x)=(1/4)e^(4x)


∫ x* e^(4x)dx=x*(1/4)e^(4x)-∫(1/4)e^(4x)dx

∫ x* e^(4x)dx=x*(1/4)e^(4x)-(1/4)∫e^(4x)dx

∫ x* e^(4x)dx=x*(1/4)e^(4x)-(1/16)∫e^(4x)d(4x)

∫ x* e^(4x)dx=x*(1/4)e^(4x)-(1/16)e^(4x) - это ответ


Проверка:

(x*(1/4)e^(4x)-(1/16)e^(4x))`=(x*(1/4)e^(4x))`-(1/16)(e^(4x) )`=(x)`*(1/4)e^(4x)+x*((1/4)e^(4x))`-(1/16)(e^(4x))*(4x)`=

=(1/4)e^(4x)+x*e^(4x)-(1/4)e^(4x)=x*e^(4x)



б)
Замена переменной:

cosx=t
d(cosx)=dt

(cosx)`dx=dt

-sinxdx=dt

sinxdx=-dt

[m]∫ cos^3x sinxdx= ∫t^3 (-dt)=-∫t^3dt=-\frac{t^{4}}{4}+C=[/m]

обратный переход к переменной х:

[m]=-\frac{cos^4x}{4}+C[/m]


Проверка:

[m](-\frac{cos^4x}{4}+C)`=(-\frac{cos^4x}{4})`+(C)`=-\frac{1}{4}\cdot (cos^4x)`+0=-\frac{1}{4}\cdot 4\cdot cos^3x\cdot (cosx)`=-\frac{1}{4}\cdot 4\cdot cos^3x\cdot (-sinx)=cos^3x\cdot sinx[/m]


а)
По свойствам интегрирования: интеграл от суммы равен сумме интегралов:

[m] =∫3x^2dx+∫ \frac{6}{x^7}dx+ ∫ \frac{1}{cos^2x}dx=[/m]

По свойствам интегрирования: постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

[m] =3∫x^2dx+6∫ \frac{1}{x^7}dx+ ∫ \frac{1}{cos^2x}dx=[/m]
Применяем свойства степени ко второму интегралу:

[m] =3 ∫ x^2dx+6∫ x^{-7}dx+ ∫ \frac{1}{cos^2x}dx=[/m]


Это табличные интегралы.

Первый и второй вычисляем по формуле 1), третий по формуле 8) ( cм скрин)


[m] =3 \frac{x^{2+1}}{2+1}+6\frac{ x^{-7+1}}{-7+1}+tgx+C=[/m]


Упрощаем

=[m]x^3-\frac{1}{x^6}+tgx+C[/m]


Проверка

[m](x^3- \frac{1}{x^6}+tgx+C)`=(x^3)`-(x^{-6})`+(tgx)`+(C)`=3x^2-(-6)\cdot (x^{-6-1})+\frac{1}{cos^2x}+0=3x^2+\frac{6}{x^{7}}+\frac{1}{cos^2x}[/m]