Задача 65877 Найти предел последовательности {x_(n)},...
Условие
Решение
Умножаем числитель и знаменатель на сумму:
[m]\sqrt{n+1}+\sqrt{n}[/m]
И еще умножаем числитель и знаменатель на сумму:
[m]\sqrt{n^2+1}+n[/m]
[m]= lim \frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n^2+1}+n)} =[/m]
В числителе получилась разность квадратов:
[m](\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n) = n^2 + 1 - n^2 = 1[/m]
В знаменателе получилась разность квадратов:
[m](\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) = n+1 - n = 1[/m]
Получаем:
[m]= lim \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+1}+n} =[/m]
А теперь делим числитель и знаменатель на n в высшей степени, то есть просто на n. Под корнями делим на n^2:
[m]= lim \frac{\sqrt{1/n+1/n^2}+\sqrt{1/n}}{\sqrt{1+1/n^2}+1} =[/m]
Все маленькие дроби 1/n и 1/n^2 стремятся к 0 при n → oo.
[m]= \frac{\sqrt{0+0}+\sqrt{0}}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{0}{1+1} = 0[/m]
Ответ: Предел x_(n) = 0