Задача 65871 В классе 20 человек. Средняя оценка за...
Условие
причем есть все оценки от 1 до 5. Какое наименьшее количество пятерок могло быть за эту работу?
Решение
[m]x_{1};x_{2};...;x{20}[/m]
По определению среднее арифметическое этих оценок:
[m]\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{20}}{20}[/m]
По условию "Средняя оценка за последнюю контрольную оказалась равной ровно 4"
[m]\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{20}}{20}=4[/m] ⇒
Сумма всех оценок двадцати учеников:
[m]x_{1}+x_{2}+...+x_{20}=80[/m] ⇒
причем есть все оценки от 1 до 5
Если все 20 оценок [b]единицы[/b], то сумма всех оценок двадцати учеников: [m]x_{1}+x_{2}+...+x_{20}=1[/m]
Если все 20 оценок[b] пятерки[/b], то сумма всех оценок двадцати учеников: [m]x_{1}+x_{2}+...+x_{20}=100[/m]
По условию задачи сумма всех оценок двадцати учеников:
[m]x_{1}+x_{2}+...+x_{20}=80[/m]
Далее простой перебор вариантов
Если все 20 оценок[b] четверки[/b], то сумма всех оценок двадцати учеников: [m]x_{1}+x_{2}+...+x_{20}=4\cdot 20=80[/m]
Убираем четыре четверки и заменяем их на 1; 2; 3;5
[m]x_{1}+x_{2}+...+x_{20}=80-4\cdot 4+1+2+3+5=75[/m]
Теперь у нас есть 16 четверок, одна единица; одна двойка; одна тройка; одна пятерка.
Но сумма 75, а надо 80.
Значит убираем еще четыре четверки и заменим их на четыре пятерки:
Теперь у нас есть 12 четверок, одна единица; одна двойка; одна тройка; пять пятерок
4*12+1*1+1*2+1*3+5*3=80
Какое наименьшее количество пятерок могло быть за эту работу?
[b]пять пятерок
[/b]