Задача 65837 Контрольная работа №1. Вариант 8 ...
Условие
Вариант 8
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Решение
[m]\begin{vmatrix}
0 & -2 & 1 \\
4 & -8 & 2 \\
10 & 1 & -5
\end{vmatrix} = [/m]
= 0(-8)(-5) + 4*1*1 + (-2)*2*10 - 1(-8)*10 - 4(-2)(-5) - 0*1*2
= 0 + 4 - 40 + 80 - 40 - 0 = 4
2. Решить систему уравнений:
[m]\begin{cases}
2x1 - x2 + 2x3 = 3\\
x1 + x2 + 2x3 = -4\\
4x1 + x2 + 4x3 = -3
\end{cases}[/m]
Метод Гаусса
[m]\begin{pmatrix}
2 & -1 & 2 & | & 3\\
1 & 1 & 2 & | & -4\\
4 & 1 & 4 & | & -3
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & | & -4\\
2 & -1 & 2 & | & 3\\
4 & 1 & 4 & | & -3
\end{pmatrix} =[/m]
[m]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & | & -4\\
0 & -3 & -2 & | & 11\\
0 & -3 & -4 & | & 13
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & | & -4\\
0 & -3 & -2 & | & 11\\
0 & 0 & -2 & | & 2
\end{pmatrix}[/m]
Получаем:
-2*x3 = 2; x3 = -1
-3*x2 - 2(-1) = 11; x2 = (11-2)/(-3) = -3
x1 + (-3) + 2(-1) = -4; x1 = -4 + 2 + 3 = 1
[b]Ответ: (1; -3; -1)[/b]
Матричный метод.
[m]A * X = B[/m]
[m]\begin{pmatrix}
2 & -1 & 2\\
1 & 1 & 2\\
4 & 1 & 4
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}
x1\\
x2\\
x3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3\\
-4\\
-3
\end{pmatrix}[/m]
Сначала найдём определитель главной матрицы:
[m]|A| = \begin{vmatrix}
2 & -1 & 2\\
1 & 1 & 2\\
4 & 1 & 4
\end{vmatrix}=[/m]
= 8 + 2 + (-8) - 8 - (-4) - 4 = 8 + 2 - 8 - 8 + 4 - 4 = -6
Определитель не равен 0, значит, решение есть.
Находим алгебраические дополнения:
[m]A_{11} = (-1)^{1+1}*\begin{vmatrix}
1 & 2\\
1 & 4
\end{vmatrix}=1(4 - 2) = 2[/m]
[m]A_{12} = (-1)^{1+2}*\begin{vmatrix}
1 & 2\\
4 & 4
\end{vmatrix}=-1(4 - 8) = 4[/m]
[m]A_{13} = (-1)^{1+3}*\begin{vmatrix}
1 & 1\\
4 & 1
\end{vmatrix}=1(1 - 4) = -3[/m]
[m]A_{21} = (-1)^{2+1}*\begin{vmatrix}
-1 & 2\\
1 & 4
\end{vmatrix}=-1(-4 - 2) = 6[/m]
[m]A_{22} = (-1)^{2+2}*\begin{vmatrix}
2 & 2\\
4 & 4
\end{vmatrix}=1(8 - 8) = 0[/m]
[m]A_{23} = (-1)^{2+3}*\begin{vmatrix}
2 & -1\\
4 & 1
\end{vmatrix}=-1(2 + 4) = -6[/m]
[m]A_{31} = (-1)^{3+1}*\begin{vmatrix}
-1 & 2\\
1 & 2
\end{vmatrix}=1(-2 - 2) = -4[/m]
[m]A_{32} = (-1)^{3+2}*\begin{vmatrix}
2 & 1\\
2 & 2
\end{vmatrix}=-1(4 - 2) = -2[/m]
[m]A_{33} = (-1)^{3+3}*\begin{vmatrix}
2 & -1\\
1 & 1
\end{vmatrix}=1(2 + 1) = 3[/m]
Составляем союзную матрицу (матрицу дополнений)
[m]C = \begin{pmatrix}
2 & 4 & -3\\
6 & 0 & -6\\
-4 & -2 & 3
\end{pmatrix}[/m]
Транспонируем её:
[m]C^{T} = \begin{pmatrix}
2 & 6 & -4\\
4 & 0 & -2\\
-3 & -6 & 3
\end{pmatrix}[/m]
Находим обратную матрицу:
[m]A^{-1} = \frac{1}{|A|}*C^{T} = \begin{pmatrix}
2/(-6) & 6/(-6) & -4/(-6)\\
4/(-6) & 0/(-6) & -2/(-6)\\
-3/(-6) & -6/(-6) & 3/(-6)
\end{pmatrix} = [/m]
[m] =\begin{pmatrix}
-1/3 & -1 & 2/3\\
-2/3 & 0 & 1/3\\
1/2 & 1 & -1/2
\end{pmatrix}[/m]
Находим матрицу X:
[m]X = A^{-1}*B = \begin{pmatrix}
-1/3 & -1 & 2/3\\
-2/3 & 0 & 1/3\\
1/2 & 1 & -1/2
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}
3\\
-4\\
-3
\end{pmatrix} = [/m]
[m]=\begin{pmatrix}
-1/3*3+(-1)(-4)+2/3*(-3)\\
-2/3*3+0(-4)+1/3*(-3)\\
1/2*3+1(-4)+(-1/2)(-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1\\
-3\\
-1
\end{pmatrix} [/m]
[b]Ответ: (1; -3; -1)[/b]
Метод Крамера.
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
2 & -1 & 2\\
1 & 1 & 2\\
4 & 1 & 4
\end{vmatrix}=[/m]
= 8 + 2 + (-8) - 8 - (-4) - 4 = 8 + 2 - 8 - 8 + 4 - 4 = -6
[m]\Delta_{x1} = \begin{vmatrix}
3 & -1 & 2\\
-4 & 1 & 2\\
-3 & 1 & 4
\end{vmatrix}=[/m]
= 12 + (-8) + 6 - (-6) - 16 - 6 = 12 - 8 + 6 + 6 - 16 - 6 = -6
[m]\Delta_{x2} = \begin{vmatrix}
2 & 3 & 2\\
1 & -4 & 2\\
4 & -3 & 4
\end{vmatrix}=[/m]
= -32 + (-6) + 24 - (-32) - 12 - (-12) = 0 - 6 + 24 + 0 = 18
[m]\Delta_{x3} = \begin{vmatrix}
2 & -1 & 3\\
1 & 1 & -4\\
4 & 1 & -3
\end{vmatrix}=[/m]
= -6 + 3 + 16 - 12 - 3 - (-8) = -3 + 4 - 3 + 8 = 6
Получаем:
[m]x1 = \frac{\Delta_{x1}}{\Delta} = \frac{-6}{-6} = 1[/m]
[m]x2 = \frac{\Delta_{x2}}{\Delta} = \frac{18}{-6} = -3[/m]
[m]x3 = \frac{\Delta_{x3}}{\Delta} = \frac{6}{-6} = -1[/m]
[b]Ответ: (1; -3; -1)[/b]
3. Выполнить действия:
[m]\begin{pmatrix}
2\\
1\\
3
\end{pmatrix}* \begin{pmatrix}
2 & 6
\end{pmatrix} + 4\begin{pmatrix}
1 & 0\\
-1 & 2\\
-2 & 3
\end{pmatrix} =[/m]
[m]=\begin{pmatrix}
2*2 & 2*6\\
1*2 & 1*6\\
3*2 & 3*6
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 & 0\\
-4 & 8\\
-8 & 12
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
8 & 12\\
-2 & 14\\
-2 & 30
\end{pmatrix}[/m]