Задача 65811 Найти длину кривой линии...
Условие
математика ВУЗ
97
Решение
★
По формуле:
[r]L= ∫ ^(t_(2))_(t_(1)) sqrt((x`(t))^2+(y`(t))^2)dt[/r]
x`(t)=(e^(t)(cost+sint))`=(e^(t))`*(cost+sint)+e^(t)(cost+sint)`=e^(t)*(cost+sint)+e^(t)*(-sint+cost)=e^(t)*(2cost)
y`(t)=(e^(t)(cost-sint))`=(e^(t))`*(cost-sint)+e^(t)(cost-sint)`=e^(t)*(cost-sint)+e^(t)*(-sint-cost)=e^(t)*(-2sint)
(x`(t))^2+(y`(t))^2=(e^(t)*(2cost))^2+(e^(t)*(-2sint))^2=e^(2t)*(4cos^2t+4sin^2t)=4*e^(2t)
sqrt((x`(t))^2+(y`(t))^2)=2e^(t)
L= ∫ ^(π)_(0) 2e^(t)dt=2e^(t)|^(π)_(0)=[b]2e^(π)-2[/b]
1)
f(x)=lnx
f`(x)=1/х
Подставляем в формулу ( см. скрин):
L= ∫^(sqrt(15))_(sqrt(3))sqrt(1+(1/x)^2) dx= ∫^(sqrt(15))_(sqrt(3))sqrt( (x^2+1)/x^2) dx=
замена переменной
x=tgt
