Задача 65806 Отделите корни уравнения f(x)=0...

63319542bf2ae1283149ebc4

26.09.2022 15:12:37

Отделите корни уравнения f(x)=0 графически и уточните один корень методом половинного деления [m]x^{2} - 2^{x-1} = 0[/m]

626fab9a354ab65fb2f43abb

26.09.2022 16:12:32

★

x^2 - 2^(x-1) = 0
x^2 = 2^(x-1)
Решаем графическим методом.
Рисуем два графика: y1 = x^2; y2 = 2^(x-1)
У меня 2 рисунка: один крупный, на нем виден корень:
x3 ≈ 6,32; y3 ≈ 39,939
Второй более подробный, на нем видно еще два корня:
x1 ≈ -0,579; y1 ≈ 0,335
x2 = 1; y2 = 1

Уточним корень x1 ≈ -0,579 методом половинного деления.
Возьмем изначальные точки x = -1 и x = 0
y(-1) = (-1)^2 - 2^(-2) = 1 - 1/4 = 3/4 = 0,75 > 0
y(0) = 0^2 - 2^(-1) = 0 - 1/2 = - 1/2 = -0,5 < 0
x1 ∈ (-1; 0)
Берем x = -1/2 = -0,5:
y(-0,5) = (-0,5)^2 - 2^(-0,5-1) = 1/4 - 2^(-1,5) =
= 1/4 - 1/sqrt(8) = 1/4 - 1/(2sqrt(2)) = 1/4 - sqrt(2)/4 =
= (1 - sqrt(2))/4 ≈ -0,41/4 ≈ -0,1 < 0
x1 ∈ (-1; -0,5)
Берем x = (-1 - 0,5)/2 = -0,75
y(-0,75) = (-0,75)^2 - 2^(-1,75) ≈ 0,5625 - 0,2973 = 0,2652 > 0
x1 ∈ (-0,75; -0,5)
Берем x1 = (-0,75 - 0,5)/2 = -0,625
y(-0,625) = (-0,625)^2 - 2^(-1,625) ≈ 0,391 - 0,324 = 0,067 > 0
x1 ∈ (-0,625; -0,5)
Берем x1 = (-0,625 - 0,5)/2 = -0,5625
y(-0,5625) = (-0,5625)^2 - 2^(-1,5625) ≈
≈ 0,3164 - 0,3386 = -0,0222 < 0
x1 ∈ (-0,625; -0,5625)
Берем x1 = (-0,625 - 0,5625)/2 = -0,59375
y(-0,59375) = (-0,59375)^2 - 2^(-1,59375) ≈
≈ 0,3525 - 0,3313 = 0,0214 > 0
x1 ∈ (-0,59375; -0,5625)
Берем x1 = (-0,59375 - 0,5625)/2 = -0,578125
y(-0,578125) = (-0,578125)^2 - 2^(-1,578125) ≈
≈ 0,3342 - 0,3349 = -0,0007 ≈ 0
x1 ≈ -0,578125
На самом деле, как мы знаем,
x1 ≈ -0,579
Точность превышает 1/1000, что вполне достаточно.

Ответ: x1 ≈ -0,579; x2 = 1; x3 ≈ 6,32