Задача 65798 Дана система трех линейных...
Условие
Требуется: 1) найти ее решение с помощью правила Крамера; 2) записать систему
в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом
правильность вычисления обратной матрицы проверить используя матричное
умножение; 3) решить методом Гаусса.
Решение
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
3 & 1 & 4
\end{vmatrix} =[/m]
= 1*3*4 + 2*1*1 + 0*2*3 - 1*3*3 - 2*0*4 - 1*2*1 =
= 12 + 2 + 0 - 9 - 0 - 2 = 12 - 9 = 3
[m]\Delta_{x} = \begin{vmatrix}
3 & 0 & 1 \\
3 & 3 & 2 \\
10 & 1 & 4
\end{vmatrix} =[/m]
= 3*3*4 + 3*1*1 + 0*2*10 - 1*3*10 - 3*0*4 - 1*2*3 =
= 36 + 3 + 0 - 30 - 0 - 6 = 39 - 36 = 3
[m]\Delta_y = \begin{vmatrix}
1 & 3 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
3 & 10 & 4
\end{vmatrix} =[/m]
= 1*3*4 + 1*2*10 + 3*2*3 - 1*3*3 - 1*2*10 - 2*3*4 =
= 12 + 20 + 18 - 9 - 20 - 24 = 30 - 33 = -3
[m]\Delta_z = \begin{vmatrix}
1 & 0 & 3 \\
2 & 3 & 3 \\
3 & 1 & 10
\end{vmatrix} =[/m]
=1*3*10 + 1*2*3 + 0*3*3 - 3*3*3 - 0*2*10 - 1*1*3 =
= 30 + 6 + 0 - 27 - 0 - 3 = 36 - 30 = 6
[m]x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{3}{3} = 1[/m]
[m]y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-3}{3} = -1[/m]
[m]z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{6}{3} = 2[/m]
[b]Ответ: (1; -1; 2)[/b]
[b]По методу Гаусса:[/b]
{ x + z = 3
{ 2x + 3y + 2z = 3
{ 3x + y + 4z = 10
Умножаем 1 ур-ние на -2 и складываем со 2 ур-нием.
Умножаем 1 ур-ние на -3 и складываем с 3 ур-нием.
{ x + 0y + z = 3
{ 0x + 3y + 0z = -3
{ 0x + y + z = 1
Из 2 уравнения:
3y = -3; y = -1
Из 3 уравнения:
0 + (-1) + z = 1; z = 2
Из 1 уравнения:
x + 2 = 3; x = 1
[b]Ответ: (1; -1; 2)[/b]