Задача 65793 Докажите, что предел последовательности...

632efbb5c1ff6d28b1c6d3c2

25.09.2022 21:34:58

Докажите, что предел последовательности {x_(n)} равен a, если:

626fab9a354ab65fb2f43abb

25.09.2022 22:51:49

★

[m]lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-n^3+n^2+n*sin(n)}{2n^3+n^2*cos(n)-3}[/m]
Делим числитель и знаменатель на n^3:
[m]lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-1+1/n+sin(n)/n^2}{2+cos(n)/n-3/n^3}[/m]
Функции sin(n) и cos(n) - ограниченные, при n → ∞ они остаются в пределах [-1; 1]
Поэтому все маленькие дроби: 1/n, sin(n)/n^2, cos(n)/n, 3/n^3
Все эти дроби стремятся к 0. Получается:
[m]lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-1+0+0}{2+0-0} = -\frac{1}{2} = a[/m]
Ответ: Таким образом, мы доказали, что lim {x_n} = a