Задача 65786 ...

628a022a6653d96aeebf61ed

25.09.2022 19:10:29

Составить матрицу преобразования φ в базисе f1(x)=1+x; f2(x)=x+x²; f3(x)=x+x³;
f4(x)=x³ пространства всех многочленов степени не выше 3 над R.
φ (f(x))=f(x)–f(–x)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25.09.2022 20:36:59

★

φ (f_(1)(x))=f_(1)(x)-f_(1)(-x)=1+x-(1-x)=2x

φ (f_(2)(x))=f_(2)(x)-f_(2)(-x)=x+x^2-(-x+(-x)^2)=2x

φ (f_(3)(x))=f_(3)(x)-f_(3)(-x)=x+x^3-(-x+(-x)^3)=2x+2x^3

φ (f_(4)(x))=f_(4)(x)-f_(4)(-x)=x^3-((-x)^3)=2x^3


Значит в базисе {1; x; x^2; x^3} матрица оператора имеет вид

[m]\begin {bmatrix} 0&2&0&0\\0&2&0&0\\0&2&0&2\\0&0&0&2\end {bmatrix}[/m]