Задача 65717 Найти область сходимости степенного...
Условие
математика ВУЗ
100
Решение
★
По признаку Даламбера:
[m]lim_{n \rightarrow oo} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \frac{(x-1)^{n+1}}{2^{n+1}(n+1+3)} : \frac{(x-1)^{n}}{2^{n}(n+3)} = \frac{(x-1)(x-1)^{n}}{(x-1)^{n}}*\frac{2^{n}}{2^{n+1}}*\frac{n+3}{n+4} =[/m]
[m]=lim_{n \rightarrow oo} \frac{x-1}{1}*\frac{1}{2}*\frac{n+3}{n+4}=lim_{n \rightarrow oo} \frac{x-1}{2}*1[/m]
Если этот предел < 1, то ряд сходится.
(x-1)/2 < 1
x - 1 < 2
x < 3
Область сходимости: (-3; 3)