Задача 65680 Из нового синтетического материала...

6327cd5f5ef9ed704a452a1b

19.09.2022 05:12:41

Из нового синтетического материала изготовили брусок в форме прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна 4 см, а площадь полной поверхности равна 192 см^2?. Брусок был подвергнут давлению по всем граням таким образом, что он сохранил форму прямоугольного параллелепипеда, но каждое ребро уменьшилось на 1 см. Площадь полной поверхности бруска уменьшилась при этом на 70 см^2. Найдите длину диагонали первоначального бруска.

626fab9a354ab65fb2f43abb

19.09.2022 09:09:31

★

Высота бруска была h = 4 см, а площадь полной поверхности:
S = 2(ab + ah + bh) = 192 см^2
ab + 4a + 4b = 192/2 = 96
ab = 96 - 4a - 4b
Потом его сжали, и каждое ребро уменьшилось на 1 см:
(a-1) см; (b-1) см; 3 см
А площадь поверхности уменьшилась на 70 см^2:
2((a-1)(b-1) + 3(a-1) + 3(b-1)) = 192 - 70 = 122 см^2
(a-1)(b-1) + 3a-3 + 3b-3 = 61
ab - a - b + 1 + 3a + 3b - 6 = 61
ab + 2a + 2b = 61 + 6 - 1
ab = 66 - 2a - 2b
Получили два выражения для ab.
Приравняем правые части:
96 - 4a - 4b = 66 - 2a - 2b
96 - 66 = 4a + 4b - 2a - 2b
2a + 2b = 30
a + b = 15
b = 15 - a
Подставляем это в выражение для ab:
a(15 - a) = 66 - 2a -2(15 - a)
15a - a^2 = 66 - 2a - 30 + 2a
a^2 - 15a + 36 = 0
(a - 3)(a - 12) = 0
a1 = 3 см; b1 = 15 - 3 = 12 см.
a2 = 12 см; b2 = 15 - 12 = 3 см.
Изначальные размеры бруска: 3х12х4 см.
Длина его диагонали:
D = sqrt(3^2+12^2+4^2) = sqrt(9+144+16) = sqrt(169) = 13 см
Ответ: 13 см