Задача 65677 ...

62aaac79225ec1501a9067b6

18.09.2022 19:34:22

Решите систему уравнений [m]\left\{\begin{matrix}x²+y²=65\\
xy=8
\end{matrix}\right.[/m]

626fab9a354ab65fb2f43abb

18.09.2022 19:41:14

★

{ x^2 + y^2 = 65
{ xy = 8
Представим себе некую сумму x + y и возведем ее в квадрат:
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) + 2*(xy) = 65 + 2*8 = 65 + 16 = 81
(x + y)^2 = (-9)^2 = 9^2
Отсюда получаем два варианта для суммы:

1) x + y = -9
Получили систему:
{ x + y = -9
{ xy = 8
По теореме Виета это значит, что x и y - это корни уравнения:
t^2 + 9t + 8 = 0
(t + 1)(t + 8) = 0
x1 = -1; y1 = -8
x2 = -8; y2 = -1

2) x + y = 9
Получили систему:
{ x + y = 9
{ xy = 8
По теореме Виета это значит, что x и y - это корни уравнения:
t^2 - 9t + 8 = 0
(t - 1)(t - 8) = 0
x3 = 1; y3 = 8
x4 = 8; y4 = 1

[b]Ответ: (-8; -1); (-1; -8); (1; 8); (8; 1)[/b]