Задача 65657 Задача 1. (20 баллов) Найдите все...

6325e823a7c78334f1d6d978

17.09.2022 18:32:43

Задача 1. (20 баллов) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно 2 корня. х° + 4ах* + 4а?х? = 0 Задача 2. (20 баллов) Найдите максимальное значение функции у = 100 - х? + 18х. Задача 3. (20 баллов) Найдите максимальное значение функции г = -х? + 10х - )% + 20y - 25 с учетом ограничения у = 20 - 0.5х. Задача 4. (20 баллов) Найдите все значения параметра а, при которых сумма корней уравнения равна 4. (а - 18)х? + (а + б)х - % = 0 Задача 5. (20 баллов) Пускай х > Ои уу > 0. Определите, чему равно минимальное значение функции. 4у +4х*у + 4х?у? + 4х? Е(к;у) = Т 5) <y Задача 1. (20 баллов) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно 2 корня. х° + 4ах* + 4а?х? = 0

626fab9a354ab65fb2f43abb

17.09.2022 20:37:14

★

1) x^6 + 4ax^4 + 4a^2*x^2 = 0
Уравнение должно иметь 2 разных корня.
x^2*(x^4 + 4a*x^2 + 4a^2) = 0
[b]x1 = x2 = 0[/b] - это 2 равных корня, по сути один корень.
Уравнение x^4 + 4a*x^2 + 4a^2 = 0
Это биквадратное уравнение, его можно решить, как квадратное.
Оно тоже должно иметь 1 корень. Значит, должно быть D = 0
D = (4a)^2 - 4*1*4a^2 = 16a^2 - 16a^2 = 0 при любом а.
x^2 = -4a/2 = -2a
Если a > 0, то у этого биквадратного уравнения корней нет.
Если a < 0, то любой корень, кроме 0, будет иметь два значения:
x2_1 = -sqrt(-2a); x2_2 = sqrt(-2a)
А значение a = 0 нельзя использовать, потому что корень x1 = 0 уже использован.
Ответ: ни при каких а не может быть ровно 2 разных корня.
Но при всех a > 0 будет 2 равных корня x1 = x2 = 0

2) y = 100 - x^2 + 18x
Это парабола, у которой ветви направлены вниз.
Точка максимума - это вершина:
x0 = -b/(2a) = -18/(-2) = 9
y0 = y(9) = 100 - 9^2 + 18*9 = 100 - 81 + 162 = 181
Ответ: 181

3) z = -x^2 + 10x - y^2 + 20y - 25 при условии: y = 20 - 0,5x
Выделим полный квадрат:
z = -(x^2 - 10x + 25) - y^2 + 20y = -(x - 5)^2 - y^2 + 20y
z = -(x - 5)^2 - (20 - 0,5x)^2 + 20(20 - 0,5x)
z = -(x - 5)^2 - (400 - 2*20*0,5x + (0,5x)^2) + (400 - 20*0,5x)
z = -(x - 5)^2 - 400 + 20x - 0,25x^2 + 400 - 10x
z = -(x - 5)^2 - 0,25x^2 + 10x
z = -x^2 + 10x - 25 - 0,25x^2 + 10x = -1,25x^2 + 20x - 25
Это парабола, у которой ветви направлены вниз.
Точка максимума - это вершина:
x0 = -b/(2a) = -20/(-2,5) = 40/5 = 8
y0 = 20 - 0,5*x0 = 20 - 0,5*8 = 20 - 4 = 16
z0 = -(8 - 5)^2 - 16^2 +20*16 = -3^2 - 256 + 320 = 55
Проверка z по другой формуле, только через x:
z0 = -1,25*8^2 + 20*8 - 25 = -5/4*64 + 160 - 25 = -80 + 160 - 25 = 55
Ответ: 55

4) (a - 18)x^2 + (a + 6)x - 96 = 0
Должно быть: x1 + x2 = 4
По теореме Виета:
[m]x1 + x2 = \frac{-b}{a} = \frac{-a-6}{2a-36}[/m]
[m]\frac{-a-6}{a-18} = 4[/m]
[m]\frac{-a-6}{a-18} - 4 = 0[/m]
[m]\frac{-a-6-4a+72}{a-18} = 0[/m]
[m]\frac{-5a+66}{a-18} = 0[/m]
-5a + 66 = 0
a = 66/5 = 13,2
Ответ: 13,2

5) [m]F(x,y) = \frac{4y + 4x^4y + 4x^2y^2 + 4x^2}{x^2y} = \frac{4}{x^2} + 4x^2 + 4y + \frac{4}{y}[/m]; x > 0, y > 0
[m]F(x,y) = 4*(x^2 + 1/x^2 + y + 1/y)[/m]
Сумма y + 1/y при y > 0 имеет минимум при y = 1, и этот минимум равен 2.
Сумма x^2 + 1/x^2 при x > 0 имеет тоже минимум при x = 1, и этот минимум равен 2.
Поэтому F(x, y) имеет минимум, равный 4*(2 + 2) = 16 при x = 1; y = 1.