Задача 65590 Найти сумму ряда. Ответ должен...
Условие
математика ВУЗ
76
Решение
★
[m]e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...[/m]
Подставляем вместо х
x^2
[m]e^{x^2}=1+x+\frac{(x^2)^2}{2!}+...+\frac{(x^2)^{n}}{n!}+...[/m]
Интегрируем ряд:
[m]∑ (2n+1)\cdot \frac{x^{2n}}{n!} [/m]
получим
[m] ∑ \frac{x^{2n+1}}{n!}[/m]
его сумма [m]x\cdot e^{x^2}=x\cdot (1+x+\frac{(x^2)^2}{2!}+...+\frac{(x^2)^{n}}{n!}+...)[/m]
Значит
[m]∑ (2n+1)\cdot \frac{x^{2n}}{n!} =(x\cdot e^{x^2})` =(x)`\cdot e^{x^2}+x\cdot e^{x^2}\cdot (x^2)`=(2x^2+1)\cdot e^{x^2}[/m]