Задача 65586 Найдите число с наибольшим модулем среди...
Условие
Решение
По определению модуля комплексного числа:
|z| = |x + y*i| = sqrt(x^2 + y^2)
И этот модуль должен быть наибольшим.
Значит, x и y должны быть наибольшими.
В нашем случае:
|z + 3 - 4i| = |(x + 3) + (y - 4)*i| = 3
sqrt((x + 3)^2 + (y - 4)^2) = 3
(x+3)^2 + (y-4)^2 = 9
x^2 + 6x + 9 + (y - 4)^2 = 9
x^2 + 6x + (y - 4)^2 = 0
(y - 4)^2 = -x^2 - 6x
y = 4 + sqrt(-x^2 - 6x)
y будет наибольшим, когда -x^2 - 6x наибольшее.
Вершина этой параболы
x0 = -b/(2a) = 6/(-2) = -3
y0 = 4 + sqrt(-(-3)^2 - 6(-3)) = 4 + sqrt(-9 +18) =
= 4 + sqrt(9) = 4 + 3 = 7
z = -3 + 7i
|z| = sqrt((-3)^2 + 7^2) = sqrt(9 + 49) = sqrt(58)
[b]Ответ: z = -3 + 7i; |z| = sqrt(58)[/b]