Задача 65574 В параллелограмме ABCD диагонали...

631f1d9363e7420a3265f2d8

12.09.2022 14:55:26

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. На стороне BC отмечена точка Е. Диагональ BD пересекает отрезок AE в точке F так, что площадь треугольника ABF равна 7. Диагональ AC пересекает отрезок DE в точке М так, что площадь треугольника DMC равна 15. Найдите площадь треугольника BEF, если площадь четырёхугольника EFOM равна 2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.09.2022 15:21:58

★

Диагональ АС разбивает параллелограмм на два равных треугольника

S_( Δ АВС)=S_( Δ ADC)=(1/2)S_(параллелограмма ABCD)=(1/2)[b]S[/b]

Обозначим S_(параллелограмма ABCD)=[b]S[/b]


Так как
AO=OC

S_( Δ АВО)=(1/2)AO*[b]h_(1)[/b]
S_( Δ ВОС)=(1/2)OC*[b]h_(1)[/b] ⇒

S_( Δ АВО)=S_( Δ ВОС)=(1/2)S_( Δ АВС)=(1/4)[b]S[/b]

S- площадь параллелограмма

Аналогично

Диагональ BD разбивает параллелограмм на два равных треугольника

S_( Δ АВD)=S_( Δ BDC)=(1/2)S_(параллелограмма ABCD)=(1/2)[b]S[/b]

BO=OD

S_( Δ АВО)=(1/2)BO*[b]h_(2)[/b]
S_( Δ AОD)=(1/2)OD*[b]h_(2)[/b] ⇒

S_( Δ АВО)=S_( Δ AОD)=](1/2)S_( Δ АВD)=(1/4)[b]S[/b]


S_( Δ AED)=(1/2)AD* h_(параллелограмма)=(1/2)S_(параллелограмма ABCD)=(1/2)[b]S[/b]

[red]S_( Δ AED)=S_( Δ AКО)+S_( Δ DOM)+[blue]S_(EKOM)[/blue]+S_( Δ AOD)[/red] (#)



S_( Δ AFО)=S_( Δ АВО) - S_( Δ АВF)=(1/4)[b]S[/b] - 7

S_( Δ DОM)=S_( Δ DОC) - S_( Δ DMC)=(1/4)[b]S[/b] - 15

подставляем в равенство (#)

(1/2)[b]S[/b]=(1/4)[b]S[/b] - 7+(1/4)[b]S[/b] - 15+[blue]2[/blue]+(1/4)[b]S[/b] ⇒

[b]S=80[/b]


S_( Δ AFО)=20 - 7=13

S_( Δ DОM)=20-15=5



2.


Теперь надо найти S_( Δ BEF)

Т.е найти какую часть площади параллелограмма она занимает.


Из второго рисунка ясно, что S_( Δ BEF)+S_( Δ FMC)=18

Δ BEF ∼ Δ AFD

∠ BEF= ∠ AFD как вертикальные

Поэтому по формуле[r] [m]S_{ Δ}=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot sin φ [/m][/r]

[m]\frac{S_{ Δ BEF}}{S_{ ΔAFD}}=\frac{BF\cdot FE}{AF\cdot FC}=\frac{\frac{7}{40}BD\cdot FE}{\frac{33}{40}BD\cdot \frac{33}{7}}=(\frac{7}{33})^2[/m]

[m]S_{ ΔAFD}=13+20=33[/m]

⇒
[m]S_{ ΔBEF}=(\frac{7}{33})^2[/m]\cdot 33=\frac{49}{33}[/m]


[b]О т в е т.[/b] [m]S_{ ΔBEF}=\frac{49}{33}[/m]



По свойству площадей

Если высоты треугольников совпадают, то площади относятся как основания и наоборот, [i]отношение оснований[/i] равно [i]отношению площадей
[/i]
ВF : FO=7:13 ⇒

BO=OD

BF=(7/20) BO=(7/40)BD

FO=(13/20)BO=(13/40)BD

OD=(20/20) BO=(20/40)BD


S_( Δ BEF):S_( Δ FED)=7:33