Задача 65565 ...

62aaac79225ec1501a9067b6

11.09.2022 14:31:10

Постройте график функции [m]y=\frac{(x²+1)(x-2)}{x-2}[/m] и определите, при каких значениях k прямая [m]y=kx[/m] имеет с графиком ровно одну общую точку.

626fab9a354ab65fb2f43abb

11.09.2022 21:11:30

★

[m]y = \frac{(x^2+1)(x-2)}{x-2}[/m]
Эта функция - по сути функция y = x^2 + 1, но она имеет устранимый разрыв в точке x = 2; y = 2^2 + 1 = 5.
График показан на рисунке.
Эта парабола имеет три прямых вида y = kx, которые пересекаются с ней в одной точке. Они показаны синим.
Две прямых - это касательные, а третья - прямая, проходящая через точку разрыва.
Уравнения касательных легко найти, приравняв функции параболы и прямой:
x^2 + 1 = kx
x^2 - kx + 1 = 0
Так как они пересекаются в одной точке, то это уравнение имеет один корень, а значит:
D = (-k)^2 - 4*1*1 = 0
k^2 - 4 = 0
(k - 2)(k + 2) = 0
k1 = -2; k2 = 2
Найдем прямую, проходящую через точку разрыва (2; 5).
y(x) = kx
y(2) = 2k
5 = 2k
k3 = 5/2 = 2,5
[b]Ответ: y = -2x; y = 2x; y = 2,5x[/b]