Задача 65562 Как изменится матрица линейного...
Условие
вектора поменять местами?
Решение
Пусть А - матрица линейного оператора в базисе {vector{g_{1}};vector{g_{2}}; ...;{vector{g_{n}}}
vector{A}-матрица линейного оператора в базисе {vector{f_{1}};vector{f_{2}}; ...;{vector{f_{n}}}
C- матрица перехода от базиса {vector{g_{1}};vector{g_{2}}; ...{vector{g_{n}}} к {vector{f_{1}};vector{f_{2}}; ...{vector{f_{n}}}
Тогда матрицы оператора в обоих базисах связаны соотношением:
vector{A}=C^(-1)*A*C
Пусть матрица оператора в базисе {vector{g_{1}};vector{g_{2}};vector{g_{3}};...;{vector{g_{n}}}
[m]\begin {bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&...&a_{3n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&...&a_{nn}\end {bmatrix}[/m]
Поменяем местами первые два вектора базиса
{vector{g_{1}};vector{g_{2}};vector{g_{3}};...;{vector{g_{n}}} и получим новый базис:
{vector{g_{2}};vector{g_{1}};vector{g_{3}}; ...;{vector{g_{n}}}
Тогда матрица перехода С примет вид
[m]\begin {bmatrix} 0&1&0&...&0\\1&0&0&...&0\\0&0&1&...&0\\...\\0&0&0&...&1\end {bmatrix}[/m]
Обратная матрица C^(-1)
[m]\begin {bmatrix} 0&1&0&...&0\\1&0&0&...&0\\0&0&1&...&0\\...\\0&0&0&...&1\end {bmatrix}[/m]
vector{A}=[m]\begin {bmatrix} 0&1&0&...&0\\1&0&0&...&0\\0&0&1&...&0\\...\\0&0&0&...&1\end {bmatrix}[/m]*[m]\begin {bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&...&a_{3n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&...&a_{nn}\end {bmatrix}[/m]*[m]\begin {bmatrix} 0&1&0&...&0\\1&0&0&...&0\\0&0&1&...&0\\...\\0&0&0&...&1\end {bmatrix}[/m]=[m]\begin {bmatrix} a_{22}&a_{21}&a_{13}&...&a_{1n}\\a_{12}&a_{11}&a_{23}&...&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&...&a_{3n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&...&a_{nn}\end {bmatrix}[/m]
поменялись местами
a_(22) и a_(11)
a_(12) и a_(21)