Задача 65538 Найти все значения параметра, а при...
Условие
Решение
Уравнение должно иметь 4 корня.
|(x - 1)(x - 7)| = a^2
Оно будет иметь 4 корня, если будет 2 корня в случае, когда выражение под модулем ≥ 0 и 2 корня в случае, когда выражение под модулем < 0.
1) При x ≤ 1 и при x ≥ 7 выражение под модулем неотрицательно.
|x^2 - 8x + 7| = x^2 - 8x + 7
Подставляем:
x^2 - 8x + 7 = a^2
x^2 - 8x + 7 - a^2 = 0
D/4 = (-4)^2 - 1(7 - a^2) = 16 - 7 + a^2 = 9 + a^2
D > 0 при любом а
x1 = 4 - sqrt(9 + a^2)
x2 = 4 + sqrt(9 + a^2)
1а) Предполагаем, что x1 ≤ 1, а x2 ≥ 7
{ 4 - sqrt(9 + a^2) ≤ 1
{ 4 + sqrt(9 + a^2) ≥ 7
Отделяем корни:
{ sqrt(9 + a^2) ≥ 3
{ sqrt(9 + a^2) ≥ 3
Неравенства получились одинаковыми, оставляем одно.
Возводим его в квадрат.
9 + a^2 ≥ 9
Это верно при любом а.
Решение 1 случая: a ∈ R.
Значит, два корня будут при любом а.
Найдем, при каких а будет ещё два корня.
1б) Предполагаем, что x1 ≤ 1 и x2 ≤ 1
Так как x1 < x2, достаточно решить одно неравенство:
4 + sqrt(9 + a^2) ≤ 1
sqrt(9 + a^2) ≤ -3
Так как корень арифметический, то есть неотрицательный, то решений нет.
1в) Предполагаем, что x1 ≥ 7 и x2 ≥ 7
Так как x1 < x2, достаточно решить одно неравенство:
4 - sqrt(9 + a^2) ≥ 7
-3 ≥ sqrt(9 + a^2)
Так как корень арифметический, то есть неотрицательный, то решений нет.
2) При x ∈ (1; 7) выражение под модулем отрицательно.
|x^2 - 8x + 7| = -(x^2 - 8x + 7) = -x^2 + 8x - 7
Подставляем:
-x^2 + 8x - 7 = a^2
x^2 - 8x + 7 + a^2 = 0
D/4 = (-4)^2 - 1(7 + a^2) = 16 - 7 - a^2 = 9 - a^2 =
= (3 - a)(3 + a)
D > 0 при а ∈ (-3; 3)
x1 = 4 - sqrt(9 - a^2)
x2 = 4 + sqrt(9 - a^2)
Оба корня должны попадать в промежуток (1; 7).
Так как x1 < x2, достаточно решить два неравенства:
{ 4 - sqrt(9 - a^2) > 1
{ 4 + sqrt(9 - a^2) < 7
Отделяем корни:
{ sqrt(9 - a^2) < 3
{ sqrt(9 - a^2) < 3
Неравенства получились одинаковыми, оставляем одно.
Возводим его в квадрат.
9 - a^2 < 9
Это верно при любом а ≠ 0. Но D > 0 при a ∈ (-3; 3)
Ответ: 4 корня будет при a ∈ (-3; 0) U (0; 3)