Задача 65527 Вообще не понимаю эту тему. Заранее...
Условие
Решение
Есть 7 видов неопределенностей:
[m]\frac{0}{0}; \frac{oo}{oo}; 0*oo; oo - oo; 1^{oo}; 0^0; (oo)^0[/m]
Любую неопределенность из этих 7 можно свести к любой другой. Это доказал кто-то очень давно.
Их надо просто запомнить. И ещё запомнить, что:
[m]oo + oo = oo; 0^{oo} = 0; 0*a = 0; \frac{a}{0} = oo; \frac{a}{oo} = 0[/m]
При вычислении пределов нужно сначала просто подставить предельное значение в выражение.
Если никаких неопределенностей нет, то и хорошо.
1) [m]lim_{x \rightarrow 2} (3x^2 - 2x) = 3*2^2 - 2*2 = 12 - 4 = 8[/m]
2) [m]lim_{x \rightarrow 4} \frac{2x-1}{4x} = \frac{2*4-1}{4*4}= \frac{7}{16}[/m]
3) [m]lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x+3}{x+4} = \frac{2*1+3}{1+4} = \frac{5}{5} = 1[/m]
4) Здесь уже подставить не получится, потому что x -> oo.
Тогда надо разделить числитель и знаменатель на x в наибольшей степени.
[m]lim_{x \rightarrow oo} \frac{2x+11}{x-1} = lim_{x \rightarrow oo} \frac{2+11/x}{1-1/x}[/m]
Все маленькие дроби равны 0, потому что a/oo = 0
[m]lim_{x \rightarrow oo} \frac{2+11/x}{1-1/x} = \frac{2+0}{1-0} = \frac{2}{1} = 2[/m]
5) Точно также, как 4), я не буду расписывать:
[m]lim_{x \rightarrow oo} \frac{x^2-x+3}{2x^2-4x} = \frac{1}{2} [/m]
6) Точно также, как 4), я не буду расписывать:
[m]lim_{x \rightarrow oo} \frac{2x^2-10}{3x^2+1} = \frac{2}{3}[/m]
7) Здесь опять можно подставить, как в 1):
[m]lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-25}{x-5} = \frac{2^2-25}{2-5}= \frac{4-25}{-3}= \frac{-21}{-3} = 7[/m]
8) [m]lim_{x \rightarrow 6} \frac{x-6}{x^2-36} =\frac{6-6}{6^2-36} = \frac{0}{0} [/m]
Получилась неопределенность. Чтобы от нее избавиться, нужно разложить знаменатель на множители и сократить.
[m]lim_{x \rightarrow 6} \frac{x-6}{x^2-36} =lim_{x \rightarrow 6} \frac{x-6}{(x-6)(x+6)} = lim_{x \rightarrow 6} \frac{1}{x+6} = \frac{1}{6+6} = \frac{1}{12}[/m]
9) Здесь, как в 8), нужно разложить на множители и числитель и знаменатель.
[m]lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x^2-x} =lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)} = lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+1}{x} = \frac{1+1}{1} = 2[/m]
10) Здесь опять, как в 4)
[m]lim_{x \rightarrow oo} \frac{1-3x}{2x-5} = lim_{x \rightarrow oo} \frac{1/x-3}{2-5/x} = \frac{-3}{2} = -1,5[/m]
11) И здесь так же:
[m]lim_{x \rightarrow oo} \frac{x^3-1}{2x^3+1} = \frac{1}{2} = 0,5[/m]
12) Здесь снова, как в 8), раскладываем на множители.
[m]lim_{x \rightarrow -3} \frac{x^2-9}{x+3} =lim_{x \rightarrow -3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = lim_{x \rightarrow -3} \frac{x-3}{1} = -3 - 3 = -6 [/m]
13) Здесь можно просто подставить, как в 1)
[m]lim_{x \rightarrow 0} \frac{6-x^2-7x^3}{6x^3+2x+3} = \frac{6-0-7*0}{6*0+2*0+3} = \frac{6}{3} = 2 [/m]
14) Здесь опять раскладываем на множители.
[m]lim_{x \rightarrow 5} \frac{x^2-10x+25}{x-5} = lim_{x \rightarrow 5} \frac{(x-5)^2}{x-5} = lim_{x \rightarrow 5} \frac{x-5}{1} = 5-5=0 [/m]
15) Здесь нужно применить 1 Замечательный предел.
[m]lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin x}{8x} = \frac{1}{8}*lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin x}{x} = \frac{1}{8}*1 = \frac{1}{8}[/m]
В общем, нужно запомнить несколько простых правил.
1) Сначала подставляешь предельное число в выражение и смотришь, что получится.
2) Если получается неопределенность 0/0, то нужно раскладывать на множители и сокращать.
3) Если получается неопределенность oo/oo, то нужно делить числитель и знаменатель на x в высшей степени.
4) Любую неопределенность из известных 7 можно свести к любой другой.
5) Помнить про Замечательные пределы. Ты сейчас прошел 1-ый, а есть еще 2-ой, ты его пройдешь позже.