Задача 65519 Доказать по определению линейной...
Условие
Решение
существуют [i] ненулевые[/i] [m]γ _{1};γ _{2};...;γ _{k} [/m] такие, что
[m] γ _{1}a_{1}+γ _{2}a_{2}+...+γ _{k}a_{k}=0[/m]
Докажем, что система [m] φ (a_{1}); φ(a_{2}):...; φ(a_{k})[/m] так же [i]линейно зависима[/i]
По свойству линейного оператора:
[m] φ (0)=[/m][red]0[/red]
Рассмотрим
[m] φ(0)= φ ( γ _{1}a_{1}+γ _{2}a_{2}+...+γ _{k}a_{k})=[/m]
по доказанному свойству ( см. предыдущую задачу)
[m]φ ( γ _{1}a_{1})+ φ (γ _{2}a_{2})+...+ φ(γ _{k}a_{k})=[/m]
[m]=γ_{1}φ (a_{1})+γ_{2}φ (a_{2})+...+γ_{k}φ (a_{k})=[/m][red]0[/red]
т. е существуют [i] ненулевые[/i] [m]γ_{1}[/m];[m] γ_{2}[/m] ;...;[m]γ_{k}[/m] такие, что
[m]γ _{1}φ (a_{1})+γ _{2}φ (a_{2})+...+γ _{k}φ (a_{k})=[/m][red]0[/red]
Это означает, что система [m] φ (a_{1}); φ(a_{2}):...; φ(a_{k})[/m] [i]линейно зависима[/i]