Задача 65514 Доказать методом математической...

628a022a6653d96aeebf61ed

06.09.2022 14:06:02

Доказать методом математической индукцией по k, пользуясь при этом определением оператора
(аддитивностью и однородностью) и ассоциативностью сложения в линейном
пространстве

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.09.2022 16:33:52

★

1) база индукции

n=1
[m] φ ( γ _{1}a_{1})= γ _{1} φ (a_{1})[/m]- верно по свойству однородности оператора φ

2)
Предположим, что для n=k

[m] φ ( γ _{1}a_{1}+γ _{2}a_{2}+...+γ _{k}a_{k})[/m]=[red][m]γ _{1} φ (a_{1})+ γ _{2} φ (a_{2})+...+ γ _{k} φ (a_{k})[/m][/red]- верно


3)
Докажем, что что для n=k+1
[m] φ ( γ _{1}a_{1}+γ _{2}a_{2}+...+γ _{k}a_{k}+γ _{k+1}a_{k+1})= γ _{1} φ (a_{1})+ γ _{2} φ (a_{2})+...+ γ _{k} φ (a_{k}).+ γ _{k+1} φ (a_{k+1})[/m]-тоже верно


Доказательство

[m] φ ( γ _{1}a_{1}+γ _{2}a_{2}+...+γ _{k}a_{k}+γ _{k+1}a_{k+1})=[/m]

представим сумму слева как сумму двух слагаемых


[m]= φ( ( γ _{1}a_{1}+γ _{2}a_{2}+...+γ _{k}a_{k})+ (γ _{k+1}a_{k+1}))=[/m]

по свойству линейности

[m]= φ( γ _{1}a_{1}+γ _{2}a_{2}+...+γ _{k}a_{k})+ φ (γ _{k+1}a_{k+1})=[/m]


для первого слагаемого верно в силу предположения 2)

для второго слагаемого в силу однородности

=[red][m]γ _{1} φ (a_{1})+ γ _{2} φ (a_{2})+...+ γ _{k} φ (a_{k})[/m][/red]+[blue] [m]γ _{k+1} φ (a_{k+1})[/m][/blue]