Задача 65487 По заданным точкам A, B, C и D cоставить...
Условие
AB и плоскости BCD, вычислить угол между ними и найти расстояние от точки A до плоскости BCD
A(0, 0, 0), B (2, 0,−2), C (0,−1, 0), D(1, 1, 1)
Решение
1) Уравнение прямой AB:
(x-0)/(2-0) = (y-0)/(0-0) = (z-0)/(-2-0)
[b]x/2 = y/0 = z/(-2)[/b]
Здесь 0 в знаменателе допустим. Он означает, что прямая AB параллельна плоскости xOz.
А в данном случае AB лежит в плоскости xOz и координата любой ее точки по оси Oy равна 0.
2) Уравнение плоскости BCD:
Здесь определитель:
[m] \begin{vmatrix}
(x-2) & (y-0) & (z+2)\\
(0-2) & (-1-0) & (0+2)\\
(1-2) & (1-0) & (1+2)
\end{vmatrix} = 0[/m]
Раскрываем по правилу треугольника:
(x-2)(-1)*3 + y*2(-1) + (z+2)(-2)*1 -
- (x-2)*1*2 - y(-2)*3 - (z+2)(-1)(-1) = 0
Упрощаем:
-3(x-2) - 2y - 2(z+2) - 2(x-2) + 6y - (z+2) = 0
-3x + 6 - 2y - 2z - 4 - 2x + 4 + 6y - z - 2 = 0
[b]-5x + 4y - 3z + 4 = 0[/b]
3) Угол между (AB) и (BCD).
Сначала найдем дополнительные данные.
Вектор нормали (BCD): n(-5; 4; -3)
Направляющий вектор прямой (AB):
m(2; 0; -2)
Угол между прямой и плоскостью:
[m] sin φ = \frac{(-5)*2+4*0-3(-2) }{ \sqrt{(-5)^2+4^2+(-3)^2 }*\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2 }} [/m]
[m]= \frac{-10+0+6}{\sqrt{25+16+9}*\sqrt{4+0+4}}= [/m]
[m] =\frac{-4}{\sqrt{50}*\sqrt{8}} = \frac{-4}{\sqrt{400}}=\frac {-4}{20} =-\frac{1}{5}[/m]
[b]φ = arcsin (-1/5) = arcsin (-0,2)[/b]
4) Расстояние от точки А до плоскости (BCD).
[m]ρ = \frac{|(-5)*0 + 4*0 + (-3)*0 + 4| }{\sqrt{(-5)^2 + 4^2 + (-3)^2} } =[/m]
[m]= \frac{|4|}{\sqrt{ 25+16+9}} = \frac{ 4}{\sqrt{50}} = \frac{4}{5\sqrt{2}}= \frac{2\sqrt{2}}{5}[/m]
[b]ρ = 2sqrt(2)/5[/b]