Задача 65476 П.16 под Б ...
Условие
Решение
Есть формулы:
1) sin (a - b) = sin a*cos b - cos a*sin b
2) cos (a - b) = cos a*cos b + sin a*sin b
3) cos 2a = 1 - 2sin^2 a; то есть sin^2 a = (1 - cos 2a)/2
И помним, что sin π/4 = cos π/4 = 1/sqrt(2)
Подставляем:
(sin π/4*cos 4x - cos π/4*sin 4x)(cos π/4*cos x + sin π/4*sin x) +
+ (1 - cos 5x)/2 = 0
Выносим за скобки 1/sqrt(2):
1/sqrt(2)*(cos 4x - sin 4x)*1/sqrt(2)*(cos x + sin x) +
+ (1 - cos 5x)/2 = 0
Умножаем 1/sqrt(2) и 1/sqrt(2), получаем 1/2:
1/2*(cos 4x - sin 4x)(cos x + sin x) + (1 - cos 5x)/2 = 0
Умножаем всё на 2:
(cos 4x - sin 4x)(cos x + sin x) + 1 - cos 5x = 0
Раскрываем скобки:
cos 4x*cos x - sin 4x*sin x + sin x*cos 4x - cos x*sin 4x +
+ 1 - cos 5x = 0
По тем же формулам 1) и 2) получаем:
cos 4x*cos x - sin 4x*sin x = cos (4x + x) = cos 5x
sin x*cos 4x - cos x*sin 4x = sin (x - 4x) = sin (-3x)
Подставляем:
cos 5x + sin (-3x) + 1 - cos 5x = 0
-sin 3x + 1 = 0
sin 3x = 1
3x = π/2 + 2π*k, k ∈ Z
[b]x = π/6 + 2π/3*k, k ∈ Z[/b] - это общее решение.
На отрезке [-π; π] будут корни:
x1 = π/6 - 2π/3 = π/6 - 4π/6 = -3π/6 = -π/2
x2 = π/6
x3 = π/6 + 2π/3 = π/6 + 4π/6 = 5π/6
[b]Ответ: x1 = -π/2; x2 = π/6; x3 = 5π/6[/b]