Задача 65469 Разложить функцию y=f(x) в ряд Тейлора...
Условие
Решение
[m]\frac{1}{1+x}=1-х+x^2-...+(-1)^{n-1}x^{n}[/m]
Пользуясь этим разложением разложим
[m]\frac{1}{1+x}[/m] по степеням [m](х-3)[/m]
Для этого выделим в знаменателе выделим [m](х-3)[/m]:
[m]\frac{1}{1+x-3+3}=\frac{1}{4+(x-3)}=[/m]
Выносим за скобки 4:
[m]\frac{1}{4(1+\frac{x-3}{4})}=[/m]
и применяем известное разложение:
[m]=\frac{1}{4}\cdot (1+\frac{x-3}{4}+(\frac{x-3}{4})^2+...+(-1)^{n-1}\frac{(x-3)^{n}}{4^{n}}+...)[/m]
Разложение
[m]\frac{5x-4}{x+2}=[/m] надо получить исходя из этого разложения.
[m]5-\frac{14}{x+2}=5-\frac{14}{4}\cdot (1+\frac{x-3}{4}+(\frac{x-3}{4})^2+...+(-1)^{n-1}\frac{(x-3)^{n}}{4^{n}}+...)=[/m]
Раскройте скобки, приведите подобные 5 и (-14/4)
Все решения
Ряд Тейлора в общем виде представлен на рисунке.
Вычислим несколько первых членов ряда:
[m]y(3)=\frac{5*3-4}{3+2} = \frac{11}{5}[/m]
[m]y'(x) = \frac{5(x+2) - (5x-4)*1}{(x+2)^2}=\frac{5x+10 - 5x+4}{(x+2)^2}=\frac{14}{(x+2)^2}[/m]
[m]y'(3) = \frac{14}{(3+2)^2} = \frac{14}{5^2}[/m]
[m]y''(x) = \frac{-14*2(x+2)}{(x+2)^4} = -\frac{14*2}{(x+2)^3}[/m]
[m]y''(3) = -\frac{14*2}{(3+2)^3} = -\frac{14*2!}{5^3}[/m]
[m]y'''(x) = -\frac{-14*2*3(x+2)^2}{(x+2)^6} = \frac{14*3!}{(x+2)^4}[/m]
[m]y'''(3) = \frac{14*3!}{5^4}[/m]
[m]y^{(4)}(x) = \frac{-14*2*3*4(x+2)^3}{(x+2)^8} = -\frac{14*4!}{(x+2)^5}[/m]
[m]y^{(4)}(3) = -\frac{14*4!}{5^5}[/m]
Достаточно, выписываем ряд Тейлора:
[m]y(x)=\frac{5x-4}{x+2}=y(3) + \frac{y'(3)}{1!}*(x-3) + \frac{y''(3)}{2!}*(x-3)^2 +[/m]
[m] + \frac{y'''(3)}{3!}*(x-3)^3 + \frac{y^{(4)}(3)}{4!}*(x-3)^4 + ... =[/m]
[m]= \frac{11}{5}+\frac{14}{5^2*1}*(x-3) - \frac{14*2!}{5^3*2!}*(x-3)^2 + \frac{14*3!}{5^4*3!}*(x-3)^3 -[/m]
[m]- \frac{14*4!}{5^5*4!}*(x-3)^4 + ... =[/m]
[m]= \frac{11}{5}+\frac{14}{5^2}*(x-3) - \frac{14}{5^3}*(x-3)^2 + \frac{14}{5^4}*(x-3)^3 - \frac{14}{5^5}*(x-3)^4 + ...[/m]