Задача 65439 ...

6305ddd6f95bb26127f30eef

27.08.2022 10:19:27

Найти сумму всех целых а из промежутка [2;15], при которых следующая функция определена на всей числовой оси:
f(x)= lg((2x-x²) log_(4)a +3(x²+1+log_(0,25)a)-2x)

626fab9a354ab65fb2f43abb

27.08.2022 10:56:42

★

[m]f(x) = lg((2x-x^2)*log_4 a+3(x^2+1+log_{0,25}a)-2x)[/m]
Область определения логарифма:
Выражение под логарифмом должно быть больше 0.
[m](2x-x^2)log_4 a+3(x^2+1+log_{0,25}a)-2x > 0[/m]
Заметим, что [m]log_{0,25}a = log_{1/4}a = -log_4 a[/m]
Введем замену [m]log_4 a = b[/m] для простоты записи.
(2x - x^2)*b+3(x^2 + 1 - b) - 2x > 0[/m]
2bx - x^2*b + 3x^2 + 3 - 3b - 2x > 0[/m]
(3-b)*x^2 + (2b-2)*x + (3-3b) > 0
Получили квадратное неравенство относительно x.
D = (2b-2)^2 - 4(3-b)(3-3b) = 4b^2 - 8b + 4 - 12b^2 + 12b + 36b - 36 = -8b^2 + 40b - 32
Оно должно выполняться на всей оси (-oo; +oo).
Для этого должна выполняться система:
{ 3 - b > 0
{ D = -8b^2 + 40b - 32 < 0
2 уравнение сокращаем на -8:
{ b < 3
{ b^2 - 5b + 4 > 0
Решаем:
{ b < 3
{ (b - 1)(b - 4) > 0
Получаем:
{ b ∈ (-oo; 3)
{ b ∈ (-oo; 1) U (4; +oo)
Решение:
b ∈ (-oo; 1)
Делаем обратную замену: [b = log_4 a]
log_4 a ∈ (-oo; 1)
a ∈ (0; 4)
На промежутке [2; 15] будут решения: a = 2; a = 3
Ответ: 5