Задача 65436 Из урны, в которой лежат 4 белых и 3...

6308ea47f95bb26127f31346

26.08.2022 18:45:44

Из урны, в которой лежат 4 белых и 3 желтых шара, последовательно вынимаются шары до тех пор, пока не закончатся белые. Найти закон распределения случайной величины - Х количество извлеченных шаров.
Ответ указан такой P(X=4)=1/35;P(X=5)=12/105;P(X=6)=6/21;P(X=7)=4/7.
Как получить 12/105? Есть умные

626fab9a354ab65fb2f43abb

26.08.2022 21:19:04

★

Есть 4 белых и 3 черных шара.
Мы вынимаем шары, пока не закончатся белые.
Мы можем вынуть 4, 5, 6 или 7 шаров.
Найдем вероятность для каждого случая.
1) Вынули за 4 хода 4 белых шара.
Вероятность:
P(X=4) = 4/7*3/6*2/5*1/4 = (4*3*2*1)/(7*6*5*4) = 1/35
2) Вынули за 5 ходов 4 белых и 1 черный шар.
Вероятность, что 1 шар будет черным, а остальные 4 белыми:
p1 = 3/7*4/6*3/5*2/4*1/3 = (3*4*3*2*1)/(7*6*5*4*3) = 1/35
Вероятность, что 1 шар будет белым, 2 шар черным, а остальные три белыми:
p2 = 4/7*3/6*3/5*2/4*1/3 = (4*3*3*2*1)/(7*6*5*4*3) = 1/35
Вероятность, что 1 и 2 шары будут белыми, 3 шар черным, а остальные два белыми:
p3 = 4/7*3/6*3/5*2/4*1/3 = (4*3*3*2*1)/(7*6*5*4*3) = 1/35
Вероятность, что 1-3 шары будут белыми, 4 шар черным, и 5 шар белым:
p4 = 4/7*3/6*2/5*3/4*1/3 = (4*3*2*3*1)/(7*6*5*4*3) = 1/35
P(X=5) = p1 + p2 + p3 + p4 = 4*1/35 = 12/105
3) Точно также считаем вероятности, что мы вынем 2 черных шара и 4 белых за 6 ходов.
Нужно рассмотреть все варианты, как могут выпасть 2 черных шара раньше, чем выпадут 4 белых:
ЧЧББББ, ЧБЧБББ, ЧББЧББ, ЧБББЧБ, БЧЧБББ, БЧБЧББ, БЧББЧБ, ББЧЧББ, ББЧБЧБ, БББЧЧБ.

4) И точно также, что вынем все 3 черных прежде, чем вынем 4 белых, всего за 7 ходов.
ЧЧЧББББ, ЧЧБЧБББ, ЧЧББЧББ, ЧЧБББЧБ, ЧБЧЧБББ, ЧБЧБЧББ, ЧБЧББЧБ, ЧББЧЧББ, ЧББЧБЧБ, ЧБББЧЧБ, БЧЧЧБББ, БЧЧБЧББ, БЧЧББЧБ, БЧБЧЧББ, БЧБЧБЧБ, БЧББЧЧБ, ББЧЧЧББ, ББЧЧБЧБ, ББЧБЧЧБ, БББЧЧЧБ.