Задача 65432 ...
Условие
х²-2х ≥ [3/(х²-2х-3)] +1,
принадлежащих промежутку (-4;5).
Решение
Область определения:
х^2 - 2х - 3 ≠ 0
(x + 1)(x - 3) ≠ 0
x ≠ -1; x ≠ 3
Решаем само неравенство:
Замена х^2 - 2х - 3 = y
y + 3 ≥ 3/y + 1
Умножаем на y ≠ 0:
y^2 + 3y ≥ 3 + y
y^2 + 2y - 3 ≥ 0
(y - 1)(y + 3) ≥ 0
y ∈ (-oo; -3] U [1; +oo)
Можно записать, как систему:
{ y ≤ -3
{ y ≥ 1
Обратная замена:
{ х^2 - 2х - 3 ≤ -3
{ х^2 - 2х - 3 ≥ 1
Приводим подобные:
{ х^2 - 2x ≤ 0
{ х^2 - 2х - 4 ≥ 0
Решаем:
{ x(x - 2) ≤ 0
{ D/4 = (-1)^2 - 1(-4) = 1 + 4 = 5
Находим корни:
{ x1 = 0; x2 = 2
{ x1 = 1 - sqrt(5) ≈ -1,236 < 0; x2 = 1 + sqrt(5) ≈ 3,236 > 2
Получаем:
{ x ∈ [0; 2]
{ x ∈ (-oo; 1 - sqrt(5)] U [1 + sqrt(5); +oo)
Ограничения области определения: x ≠ -1; x ≠ 3
в эти промежутки не попадают и на ответ не влияют.
Ответ: x ∈ (-oo; 1 - sqrt(5)] U [0; 2] U [1 + sqrt(5); +oo)
Забыл написать.
Целые корни на промежутке (-4; 5): -3, -2, 0, 1, 2, 4
Их сумма: - 3 - 2 + 0 + 1 + 2 + 4 = 2