Задача 65428 ...

6305ddd6f95bb26127f30eef

24.08.2022 12:48:19

Найдмте все тройки натуральных чисел x, y, n, для которых (x!+y!)/n! = 5×3^(n-1)

626fab9a354ab65fb2f43abb

24.08.2022 17:19:16

★

(x! + y!)/n! = 5*3^(n-1)
Напишем факториалы первых 10 чисел:
1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120; 6! = 720;
7! = 5040; 8! = 40320; 9! = 362880; 10! = 3628800
Сумма двух факториалов, деленная на третий факториал, должна быть кратна 5 и степени 3.
Значит, сама сумма факториалов тоже должна быть
кратна 5 и степени 3.
Начнем выписывать суммы факториалов:
1! + 1! = 1 + 1 = 2 - нет
1! + 2! = 1 + 2 = 3 - нет, 3 есть, 5 нет.
1! + 3! = 1 + 6 = 7 - нет
1! + 4! = 1 + 24 = 25 - нет, 5 есть, 3 нет.
1! + 5! = 1 + 120 = 121 - нет
Дальше 1! прибавлять смысла нет, все кончаются на 1.
2! + 2! = 2 + 2 = 4 - нет
2! + 3! = 2 + 6 = 8 - нет
2! + 4! = 2 + 24 = 26 - нет
2! + 5! = 2 + 120 = 122 - нет
Дальше 2! прибавлять смысла нет, все кончаются на 2.
3! + 3! = 6 + 6 = 12 - нет, 3 есть, 5 нет
3! + 4! = 6 + 24 = 30 = 2*3*5 - да!
n = 2, n! = 2, 3^(n-1) = 3^1 = 3
(3; 4; 2); (4; 3; 2) - ЭТО РЕШЕНИЯ!!!
3! + 5! = 6 + 120 = 126 - нет, 3 есть, 5 нет.
Дальше 3! прибавлять смысла нет, все кончаются на 6.
4! + 4! = 24 + 24 = 48 - нет, 3 есть, 5 нет.
4! + 5! = 24 + 120 = 144 - нет, 3 есть, 5 нет.
5! + 5! = 120 + 120 = 240 = 3*5*16 - нет, 16 не равно n!.
5! + 6! = 120 + 720 = 840 = 3*5*56 - нет, 56 не равно n!.
Дальше тоже никаких решений не будет.
Любая сумма даст число, которое раскладывается не только на n!, 5 и степень 3, там обязательно будут другие числа.
Всё решено в уме, без калькулятора!

Ответ: (3; 4; 2); (4; 3; 2)