Задача 65424 Основаниями трапеции ABC D являются AD и...

6304b9f6f95bb26127f30de0

23.08.2022 14:30:33

Основаниями трапеции ABC D являются AD и ВС. Диагональ АС разбивает трапецию на два равнобедренных треугольника, основаниями которых служат AB и AD. Определить длину стороны АВ, если известно, что AC = 12, 5 и BD 24.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.08.2022 15:38:47

★

AC=12,5

BD=24



Δ ACD - равнобедренный ⇒ AC=CD=12,5 и ∠ CAD= ∠ CDA

Δ ABC - равнобедренный ⇒ AC=BC=12,5 и ∠ CBA= ∠ CAB

⇒

BC=CD и значит Δ BCD - равнобедренный

[b]∠ CBD= ∠ CDB[/b]


Так как BC || AD,

∠ CBD= ∠ BDA

Значит BD - биссектриса угла CDA



Тогда по теореме косинусов

BC^2=BD^2+CD^2-2*BD*CD*cos ∠ CDB

12,5^2=24^2+12,5^2-2*24*12,5*cos ∠CDB

cos ∠ CDB=[m]\frac{24^2}{2\cdot 24 \cdot 12,5}=\frac{24}{25}[/m] ⇒


sin^2 ∠ CDB=1-cos^2 ∠ CDB=1-(24/25)^2=(625-576)/576=49/576=(7/25)^2

⇒

sin ∠ CDB=(7/25)

По формуле[r] sin2 α =2sin α *cos α [/r]

sin∠ CDA=2 sin∠ CDB*cos∠ CDB=2*(7/25)*(24/25)=

cos^2∠ CDA=1-((336)/625)^2=(625^2-336^2)/625=(289*961)/625^2

cos∠ CDA=17*31/625=527/625

∠ CDA= ∠ CAD= ∠ BCA


Из треугольника АВС по теореме косинусов

AB^2=AC^2+BC^2-2*AC*BC*cos ∠ BCA=12,5^2+12,5^2-2*12,5*12,5*(527/625)

AB^2=312,5*(1-(527/625)=312,5*98/625

AB^2=49

[b]AB=7[/b]