Задача 65406 Вычислите сумму (1)/(sqrt(3)+sqrt(7)) +...

62aaac79225ec1501a9067b6

17.08.2022 19:29:17

Вычислите сумму (1)/(sqrt(3)+sqrt(7)) + (1)/(sqrt(7)+sqrt(11)) + (1)/(sqrt(11)+sqrt(15)) + ... + (1)/(sqrt(27)+sqrt(31)).

5f3ea7e3faf909182968ddd9

17.08.2022 20:25:30

★

[m]\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{11}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{15}}+...+\frac{1}{\sqrt{27}+\sqrt{31}}=[/m]

Освобождаемся от иррациональности в знаменателе каждой дроби.

Для этого умножаем числитель и знаменатель каждой дроби, на выражение, сопряженное тому, которое написано в знаменателе.:
[m]=frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{(\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{3}-\sqrt{7})}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{11}}{(\sqrt{7}+\sqrt{11})(\sqrt{7}-\sqrt{11})}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt{15}}{(\sqrt{11}+\sqrt{15})(\sqrt{11}-\sqrt{15})}+...+\frac{\sqrt{27}-\sqrt{31}}{(\sqrt{27}+\sqrt{31})(\sqrt{27}-\sqrt{31})}=[/m]

Применяем формулу: [r] (a-b)(a+b)=a^2-b^2[/r]

[m]=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{7})^2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{11}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{11})^2}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt{15}}{(\sqrt{11})^2-(\sqrt{15})^2}+...+\frac{\sqrt{27}-\sqrt{31}}{(\sqrt{27})^2-(\sqrt{31})^2}=[/m]


[m]=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{(-4)}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{11}}{(-4)}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt{15}}{(-4)}+...+\frac{\sqrt{27}-\sqrt{31}}{(-4)}=[/m]


Складываем дроби с одинаковыми знаменателями:

[m]=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}+\sqrt{7}-\sqrt{11}+\sqrt{11}-\sqrt{15}+...+\sqrt{27}-\sqrt{31}}{(-4)}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{31}}{(-4)}=\frac{\sqrt{31}-\sqrt{3}}{4}[/m]