Задача 65405 Найдите значение выражения...
Условие
Решение
Все решения
[m]\frac{\sqrt{\sqrt{30}+3}+1}{(\sqrt{\sqrt{30}+3}-1)(\sqrt{\sqrt{30}+3}+1)}-\frac{\sqrt{\sqrt{30}+3}-1}{(\sqrt{\sqrt{30}+3}+1)(\sqrt{\sqrt{30}+3}-1)}=[/m]
В знаменателе каждой дроби применяем формулу [m](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/m]
[m]=\frac{\sqrt{\sqrt{30}+3}+1}{\sqrt{\sqrt{30}+3})^2-1^2}-\frac{\sqrt{\sqrt{30}+3}-1}{(\sqrt{\sqrt{30}+3})^2-1^2)}=[/m]
[m]=\frac{\sqrt{\sqrt{30}+3}+1}{\sqrt{30}+3-1}-\frac{\sqrt{\sqrt{30}+3}-1}{{\sqrt{30}+3-1}}=[/m]
[m]=\frac{\sqrt{\sqrt{30}+3}+1}{\sqrt{30}+2}-\frac{\sqrt{\sqrt{30}+3}-1}{{\sqrt{30}+2}}=[/m]
Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:из числителя первой дроби вычитаем числитель второй, а знаменатель записываем общий.
[m]=\frac{\sqrt{\sqrt{30}+3}+1-(\sqrt{\sqrt{30}+3}-1)}{\sqrt{30}+2}=[/m]
Раскрываем скобки:
[m]=\frac{\sqrt{\sqrt{30}+3}+1-\sqrt{\sqrt{30}+3}+1}{\sqrt{30}+2}=[/m]
приводим подобные слагаемые (1+1=2, выражения [m] \sqrt{\sqrt{30}+3}[/m] и [m] \sqrt{\sqrt{30}+3}[/m] противоположных знаков, в сумме дают 0
[m]=\frac{2}{\sqrt{30}+2}=[/m]
Освобождаемся от иррациональности в знаменателе дроби:
[m]=\frac{2(\sqrt{30}-2)}{(\sqrt{30}+2)(\sqrt{30}-2)}=\frac{2(\sqrt{30}-2)}{(\sqrt{30})^2-2^2}=\frac{2(\sqrt{30}-2)}{30-4}=\frac{2(\sqrt{30}-2)}{26}=[/m]
Сокращаем числитель и знаменатель на 2:
[m]=\frac{\sqrt{30}-2}{13}[/m]